数学选修4-4一轮复习讲义.docx

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1、选修4-4极坐标与参数方程第一节　坐标系[备考导航]考纲展示考情解读1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表

2、示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.1.高考主要考查极坐标的建立，极坐标系下点的坐标表示，几种简单曲线的极坐标方程的求法和极坐标与直角坐标的互化．一般与参数方程交汇命题．2.以解答题为主，属于容易题.[要点梳理]一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二、极坐标系的概念1．极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选

3、定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离

4、OM

5、叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐

6、标有无数种表示．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．三、极坐标和直角坐标的互化1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．2．互化公式：如图所示，设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝ρcos_θ，y＝ρsin_θρ2＝x2＋y2，ta

7、nθ＝(x≠0)四、常见曲线的极坐标方程曲　线图　形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)或θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a过点，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0<θ<π)[小题巩固]1．思考辨析(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆．(　　)(2)在伸缩变换

8、下，椭圆可变为圆、圆可变为椭圆．(　　)(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.(　　)(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.(　　)解析　(1)错误．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆可以变成椭圆．(2)正确．由坐标变换的规律可知其正确性．(3)正确．(4)正确．答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．解析　由知代入y＝sinx中得y′

9、＝3sin2x′.答案　y′＝3sin2x′3．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．解析　因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.答案　4．曲线ρ＝4sinθ与ρ＝2的交点坐标是________．解析　由∴sinθ＝，∴θ＝或.答案　或5．极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ所表示的曲线的直角坐标方程为________．解析　由ρ＝sinθ＋2cosθ，得ρ2＝ρsinθ＋2ρcosθ，∴x2＋y2－2x－y＝0.答案　x2＋y2－2x－

10、y＝0考点一　平面直角坐标系下图形的伸缩变换[自主演练]1．[导学号：35540844]在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求点A经过φ变换所得的点A′的坐标．解析　设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得到由于点A的坐标为，于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．2．求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．解