数列与不等式举例.docx

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1、数列与不等式举例（放缩法）一、构造等差数列，完成放缩。例1：已知数列，满足，。（1）证明：；（2）设为数列的前项和，证明：。分析：（1），可证是单调减少的，即；，猜测应放大为一个等差数列，公差为。将化为，即证。（2）由（1）得，所以。两边平方得，猜想放大为一个等差数列，公差为2。将转化为只需证。练习：1、（2015学年第一学期诸暨期末）已知数列，满足，。11（1）证明：；（2）设为数列的前项和，当时，证明：。提示：猜想为等差数列，公差为1、。2、（2015年浙江高考）已知数列满足，且，。（1）证明：；（2）设数列的前项和为，证明：。，

2、目标可转化为，猜测数列放缩为等差数列。3、已知数列满足，且，。11（1）若，求的值；（2）设，若，求证：。一、构造等比数列，完成放缩。例2：已知数列，满足，。（1）求，的值，并证明：；（2）令，，证明：。分析：要考查与2的关系，可考查。11再次作变换：。所以要证，只需证。要证，只需证：。类型一：由递推关系中构造等比数列进行放缩。练习：1、已知数列{n}满足1=1，n+1=。（1）试比较n与2的大小关系；（2）设bn=

3、n-2

4、，求证：当n≥2时，2、已知数列，满足，。（1）证明：；11（2）若，求证：。3、已知数列，满足，。求证：。4

5、、已知数列，满足，。（1）若数列从第二项起每一项都大于1，求的取值范围；（2）若，为数列的前项和，求证：。11例3：已知数列{}满足=1，=2+1。（1）求{}的通项公式；（2）证明：…+。分析：由一阶递推关系的处理方式得，所以。目标和式可化为，所以只需证：。将数列放大为一个等比数列即可，公比为，因为通项公式中的指数为以2为底的。类型二：由通项公式的特点构造等比数列进行放缩。练习：1、已知数列{}的前项和，满足。（1）求数列{}的通项公式；11（2）若，数列{}的前项和为，求证：；。2、已知数列的前n项和Sn满足Sn=。（1）写出数列

6、的前三项；（2）求数列的通项公式；（3）求证：对任意的整数，有。例4：已知{n}满足1=1，n+1=。（1）在m=1时，求{n}的通项；（2）问m在什么范围时，能使n+1≥n恒成立；（3）在1>m≥-3时，证明：…。分析：（1）由，得；（2）由可知，11要让n+1≥n恒成立，只需恒成立，而{n}为递增数列，即，所以即可。（2）由前两题可知，{n}为递增数列，且。目标不等式右边，恰为第（1）题的数列之和。因此，由1>m≥-3得，得证。例5：（2008浙江高考）已知数列，，，，记，。求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。分析：（Ⅰ）与递推式

7、化为：；（Ⅱ）可化为；（Ⅲ）中的第一项为1，后面的项都多了一项乘积，结合无穷等比数列的和公式可知，即需证。类似题：数列{n}满足n+1=n2-nn+1。（1）当1=2时，求2，3，4，并猜测n的表达式；（2）当1≥3时，求证：①n≥n+2；（进一步得出n+1=（n-n）n+1≥2n+1）11②…。三、构造拆项相消法求和的数列，完成放缩。例6：（2010湖北预赛）设数列满足，，。（1）求数列的通项公式；（2）求证：对一切，有。分析：（1）将递推关系式化为，，用叠加法得，经验证时也适用，所以。（2）求和要放大，可以联想到的求和。注意到和式

8、：改为其中一点“放大”，另一点公差为3。所以可设计为，11只需证：。练习：1、已知数列{n}的前项和为，满足1=2，。（1）求；（2）求证：。2、已知为方程的解。求证：（1）对任意的，有；（2）。1111