单自由度系统的自由振动A.ppt

《单自由度系统的自由振动A.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第一章单自由度系统的自由振动单自由度系统最简单、最基本的振动系统线性系统：动力学方程为常系数线性微分方程非线性系统:动力学方程为常系数非线性微分方程自由振动自由振动是指系统受初始扰动后，仅靠弹性恢复力来维持的振动。无阻尼自由振动有阻尼自由振动ch1单自由度系统的自由振动—讨论的内容单自由度系统自由振动的运动方程单自由度系统自由振动运动方程的解解的一般形式自由振动的频率影响自由振动参数的因素单自由度系统自由振动的运动规律对初始条件的响应求解无阻尼单度系统自由振动问题的能量法无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动

2、能T与势能V之和保持不变。动能为零时势能达到最大值。将动能取最大值时的势能取作零，则有简谐振动及其表示方法三角函数表示法旋转矢量表示法旋转矢量投影法复数表示法三角函数表示法物体作简谐振动时，其位移可表示为谐波函数或周期：振动一次所需的时间T,单位：秒（s）角频率（圆频率）ω:振动矢量每秒转过的角度（弧度），单位:弧度／秒（rad/s）频率：每秒振动的次数f，单位：赫兹（Hz）（s-1）三角函数表示法（续）简谐振动的速度简谐振动的加速度作简谐振动的线性系统，其位移、速度、加速度均为同频率简谐函数；相位角：速度超

3、前位移π/2；加速度超前位移π，超前速度π/2简谐振动的三要素：频率、振幅、初始相位旋转矢量表示法—旋转矢量投影法长度为A的矢量以匀角速度ω在平面上绕定点O逆时针旋转，该矢量在直角坐标轴上的投影均可表示简谐运动。频率：ω；幅值：A；初始相位：t=0时矢量与坐标轴的夹角。1．两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。2．直观表示简谐振动位移．速度．及加速度之间的相对关系。OxyAφω旋转矢量表示法—旋转矢量投影法1．两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。2．直观表示简谐振动位移．速度．及加速度之间的相对关系。Ox

4、yAφωωAωA2复数表示法长度为A的矢量以匀角速度ω在复平面上绕定点O逆时针旋转，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处复数z的实部和虚部相对应。复数z的实部及虚部均可表示简谐运动。特点：利用复数（求导）运算的特点可方便地表示速度和加速度。无阻尼自由振动单自由度系统自由振动方程单自由度系统自由振动方程的解无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动振动角频率ω0是系统的固有特性，与初始条件无关固有频率及固有周期固有频率ω0称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为rad/s固有频率及固有周期固有频率和周期与初始条件

5、无关，表现出线性系统自由振动的等时性。质量愈大，弹簧愈软，则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。单自由度系统对初始条件的响应初始条件对初始条件的响应能量法保守系统无阻尼系统在自由振动中任一时刻的机械能保持常值—机械能守恒计算单自由度保守系统固有频率的能量法保守系统振动中动能与势能之和为常数动能为零时势能达到最大值，将动能取最大值（平衡位置）时的势能取作零，则有能量法（续1）无阻尼单度系统系统动能系统最大动能系统势能系统最大势能能量守恒→能量法（续2）瑞利法—计算固有频率的

6、近似计算方法（计算系统的最低固有频率）先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式（假设振型：通常按静变形曲线假设）根据无阻尼自由振动的简谐规律计算系统动能和势能写为标准形式利用得到系统的（最低阶）固有频率ω0能量法练习题扭转振动用角位移作为独立座标来表达振动状态的角振动问题转动方程式式中I是转动物体对于转动轴的转动惯量，M为施加于转动物体上的力矩，它的方向与角位移一致时为正扭振运动方程及其振动解课堂练习单度系统无阻尼自由振动练习题单度系统无阻尼自由振动练习题参考解答作业题单自由度系统对初始条件的响应单自由度

7、系统振动方程的解为满足初始条件或自由振动的振幅初相角单自由度系统对初始条件的响应设在初始时刻，质点的位移和速度分别为代入得〓单自由度系统自由振动方程质量—弹簧系统由一个可视为质点的物体和弹簧组成。设质点的质量为m，弹簧的质量不计，无扰动时弹簧不变形，质点处于平衡状态。以平衡位置O为原点建立坐标轴x，当质点因初始扰动而偏离平衡位置时，弹簧产生与位移x成正比，方向与位移相反的恢复力F=-kx作用于质点，比例系数k称作弹簧的刚度系数，单位为N/m。单自由度系统自由振动方程(广义)坐标选取x坐标原点：静平衡位置根据牛顿

8、定律列写质点的自由振动方程引入参数单自由度系统自由振动方程标准形式〓单自由度系统自由振动方程的解运动微分方程令代入上面方程本征方程（特征方程）相应的本征值线性无关特解方程的通解为单自由度系统自由振动方程的解（续）欧拉公式单自由度系统自由振动方程的通解为其中C1、C2为待定常数，由初始条件决定。〓能量法求解单自由度系统无阻尼自由振动例1.1-1以质量块m的水平位移为坐标，试计算弹簧的等效