闻邦椿非线性振动第5章.ppt

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1、第五章多尺度法5.1多尺度法的基本思想多尺度法首先是由Sturrock(1957)、Cole(1963)、Nayfeh(1965)等提出的,此后得到进一步的发展。上面介绍该法的基本思想与方法。我们考虑形式为(5-1)的方程所控制的系统，设方程的解为将原点移至中心位置是合适的。于是有此时式(5-1)可写成(5-2)(5-3)(5-4)假设f可以展为泰勒级数，则上式可写为而f(n)表示关于自变量的n阶导数，对于中心，，而其中(5-8)(5-5)(5-6)我们可以把方程的解看成是多个自变量的函数，而不是一个自变量的函数。也就是们可以把x看成是t和,…,的函数。多尺度法的基本思想是，将表示响应的展开

2、式考虑成为多个自变量(或多个尺度)的函数。引进自变量(5-7)即因此关于t的导数变成了关于的偏导数的展开式，即然后代入方程进行求解，求出。这时，方程的解可写成：然后按照小参数法(摄动法)建立ε的各阶方程，进而求出。(5-9)(5-10)5.2含非线性弹性力的自治系统的多尺度法5.2.1自治保守系统方程为设,类似（5-5），可将方程(5-11)变换为将及代入上式，得(5-11)(5-12)(5-13)使ε有同次幂的系数为零，得先求上式中第一个方程的解，得式中之A为未知的复函数，而是A的共轭。A的控制方程从要求、是周期为的周期函数而得出。将代入方程(5-14)的第二式，得(5-14)(5-15

3、)式中CC表示前面各项的共轭。除非(5-16)否则式(5-16)的任一特解中均包含有因子为的长期项。所以A必须与T1无关，在的情况下，式(5-16)的解为将、代入第三个方程。得为了消去长期项，必须使(5-17)(5-18)(5-19)(5-20)将上式中的A表示成极坐标的形式：式中之a和β是实常数。将结果代入前式，得上式中和表示和关于的导数。由此得出=常数式中为常数。(5-21)(5-22)(5-23)于是得将求得的、代入x式中，得式中(5-26)(5-25)(5-24)5.2.2自治非保守系统自治非保守系统的微分方程如下式所示：设该方程的解为同理可得由以上方程的第一式可得(5-27)(5

4、-28)(5-29)而与函数A有关，上式的特解都包含正比于的项(即长期项)。因此对于大的t值,可以大大超过，结果得到了一个非一致有效的展开式。我们这样来选择函数A，使得中消去长期项，从而得到一致有效的展开式。为此目的，我们将展成富氏级数式中(5-30)(5-32)(5-31)所以消去长期项的条件是对于一次近似，我们把A考虑成仅仅是的函数，并且将解算到这一项为止。为了对上式进行求解，方便的做法是把表示为复数的形式，即因此，我们将的表示式(5-30)改写成将式(5-34)代入(5-33),我们得将上式分成实部与虚部，得(5-33)(5-34)(5-35)(5-36)所以方程的一次近似解为式中的a

5、和β由前面的式子给出。。(5-37)(5-38)5.3含非线性弹性力的非自治系统的多尺度法这里我们考虑受方程(5-39)所控制的系统，式中ε是个小参数，f是x与的非线性函数，F为外干扰力，或称为外激励。外激励分为两种，一种是理想能源，这种能源被假定为无限大的，或者大到被激系统对它的影响可以忽略。这种情况下F=F(t),即F并不是系统状态x、的函数。另一种是非理想能源，即激励利用了有限的能源，因而是被激系统的状态的函数。我们将处理理想系统，并将激励考虑成N项之和，它的每一项是简谐的：(5-40)如果幅值频率和相角都是常数，则激励称为是平稳的，否则的话称为非平稳的。当幅值与频率是时间的慢变函数时

6、，这种摄动方法适用于非平稳系统的分析。我们可以改写为式中因此，如果,则激励可以考虑成为带有慢变幅值与频率的单频激励。(5-41)(5-42)(5-43)下面研究带立方的非线性系统，其方程为式中c＞0,而b可为正(硬弹簧)，可为负(软弹簧)。我们假设即系统受单频外激励。下面分别研究它的非共振、主共振、超谐波共振、次谐波共振和组合共振情况。(5-44)(5-45)图7.1机组轴系支撑系统简图（数字为轴瓦编号）（a）1瓦轴振幅值谱图7.9中速暖机阶段典型轴振动的幅值谱（约1100r/min,约19Hz）(b)2瓦轴振幅值谱(c)8瓦轴振幅值谱（a）有裂纹时振动波形（b）有裂纹高精度FFT谱主

7、振动与亚谐振动图5.130平方米分段线性非线性共振筛图5.2分段线性非线性共振筛力学模型图5.420米长的剪切橡胶弹簧振动输送机图5.328米长的分段线性非线性振动输送机功率为11万千瓦、转速为3000转/分的燃气轮机图5.6螺旋桨飞机翅膀和立舵可能出现的次谐波共振5.3.1非共振情况已知,设代入方程，得因式中将x0代入式(5-47)第二式，得(5-46)(5-47)(5-48)在非共振情况下，如果则长期项可