闻邦椿非线性振动第6章 平均法.ppt

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1、单自变量非线性函数按照指数函数形式展开的富氏级数为#(7-40)式中#(7-41)单自变量非线性函数按照三角函数形式展开的富氏级数为#(7-42)式中#(7-43)二自变量非线性函数按照指数函数形式展开的富氏级数为(7-40)式中(7-41)二自变量非线性函数按照三角函数形式展开的富氏级数为(7-42)式中(7-43)图7.1机组轴系支撑系统简图（数字为轴瓦编号）（a）1瓦轴振幅值谱图7.9中速暖机阶段典型轴振动的幅值谱（约1100r/min,约19Hz）(b)2瓦轴振幅值谱(c)8瓦轴振幅值谱（a）有裂纹时振动波形（b）有裂纹高精度FFT谱主振动与亚谐振动第六章平均法6.1

2、平均法的由来6.2含非线性弹性力和阻尼力的自治系统6.2.1常数变易法6.2.2非线性函数直接展开法6.3含非线性惯性力的自治系统（×）6.4含非线性弹性力和阻尼力的非自治系统6.4.1非共振情况6.4.2共振情况6.5含非线性惯性力的非自治系统（×）×6.1平均法的由来平均法是由常数变易法演变而来的非线性方程的一种独特的近似解法。为此，这里首先介绍常数变易法。根据常微分方程的基本知识，若已知齐次线性方程的基本解，根据常数变易法可以求出非齐次线性方程的解。微分方程组右边可以分成两个部分，即(6-1)略去和，得简化方程式(称为派生方程)(6-2)假设方程(6-2)的通解为已

3、知，即(6-3)上式中的和为积分常数，这一简化方程式的解称为派生解常数变易法就是将派生解中所含积分常数、看作是新的因变量，再作为原始方程的解，这时，(6-1)式可写为(6-4)因为、是方程(6-2)的解，所以(6-5)因而可以写成(6-6)由于、是该方程的通解，它必须满足任意给定的初始条件，所以有(6-7)因此，从方程(6-6)可解得两个变易的常数满足：(6-8)如果方程(6-2)是可解的，即(6-3)式可以得出，那么根据(6-8)问题也就解决了。(6-3)式可以看作是将因变量(x,y)变换成(,)的转换式。例如：若有以下非线性方程(6-9)其中ε

4、为小参数，把它改写成一阶联立方程(6-10)令ε=0,得派生方程：(6-11)其通解为(6-12)式中ρ,β是积分常数。取这个解作为派生解，并把ρ,β看作新的变量，应用常数变易法，相应于式(6-8),可解出:(6-13)这种方法是从派生解出发，应用常数变易来描述非线性项的影响，称为平均法。目前有多种平均法，如常数变易法、非线性函数直接展开法等。6.2含非线性弹性力和阻尼力的自治系统6.2.1常数变易法在平均法中，把派生解的振幅与相位作为变易的常数,也就是说对派生解的正弦波加以振幅调制与频率调制来近似表示非线性振动系统的振动。方程(6-13)可看作是原方程通过式(

5、6-8)进行变量变换后，得到的关于变量的微分方程。如果我们能精确求出方程(6-13)的解，那么问题就解决了，但事实上，往往无法求出方程的精确解。如果ε等于零，那么在稳态振动的情况下，都是常数；如果ε不为零，但很小，那末，将随时间t缓慢变化，但是仍可以看作平滑变化的量与小的振动变化量迭加而成的。用平均值，即平滑变化的量来表示，而略去微小的波动。当振幅用平均值表示,相位角用平均值表示,这时式(6-12)可写为(6-14)对式(6-13)取平均值(6-15)当非线性函数已知时，可按上式计算出和的平均值。假如我们要进一步求出包含高次谐波项在内的改进的一次近似解，也可以从式(

6、6-13)出发，将（6－13）中的的右端项，展为富氏级数：(6-16)原先我们所取的平均值相当于上式中仅保留的项，即(6-17)式(6-15)与式(6-17)是等价的，如作更进一步的近似，则有(6-18)对式(6-16)积分，即可求得(6-19)6.2.2非线性函数直接展开法我们还可以先将非线性函数按富氏级数展开，即(6-20)其中的富氏系数和可由下式求得：(6-21)由式(6-20)可看出,和已在式(6-17)中考虑,式(6-17)可写为(6-22)而将余下的非线性作用力中的常数项及高次谐波项代入方程(6-9),得(6-23)该方程的解为(6-24)

7、因此，方程(6-9)的一次近似解为(6-25)例6.2.1已知如下非线性方程：解:令派生解根据(6-13)可得按照式（6-17），有积分后得式中之为积分常数，设初始条件为当t=0时，有x=A,,则一次近似为进而来求改进的一次近似解，由式(6-16)得相当于式(6-19)有按照(6-25)，经简化得为满足初骀条件,x(0)=A，应有即。最后有6.4含非线性弹性力和阻尼力的非自治系统对于拟线性方程(6-39)与自治系统相似，设方程的近似解为(6-40)式中的ρ、β由以下方程决定。