一类求三角高考数学形面积的极值问题的解题思路与方法

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1、一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法问题：过点的直线与轴、轴的正半轴分别相交于点，求的面积最小值，以及此时所对应的直线方程。解答这类问题的思路是：建立函数关系，利用有关函数的基本理论以及不等式的知识，求出目标函数的最值。在研究函数的最值时，要注意函数的定义域对函数值的限制；在运用均值不等式求最值时，要注意取等号的条件是否具备。构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求最值。解答这类问题的常用解题方法如下：一、利用三角函数的有界性求解解法1：设过点的直线方程为：，则，于是可设，。记的面积为，则=因为0<,所以：，当时，，面积的最小值是

2、：，此时，，所求的直线方程为：评注：若正实数满足，我们可以设，，把二元转化为关于的一元问题，可借助三角函数的有界性求解。二、利用均值不等式求解解法2：设过点的直线方程为：，直线与轴、轴的正半轴分别相交于点.由图知记的面积为，则3即因为，所以，，。利用均值不等式得：。所以当且仅当，即时的面积有最小值，此时所对应的直线方程为：评注：在利用均值不等式解题时，需要对目标函数进行恒等变形。变形原则是能使产生的几个正数的积（或和）为定值。解法3：设过点的直线方程为：，则，于是因为直线与轴、轴的正半轴相交，则。记的面积为，则=因为：>0,.所以.于是：。所以：=。解法4：设

3、过点的直线方程为：，则，于是因为直线与轴、轴的正半轴相交，所以。利用均值不等式得：，，而，所以。记的面积为，则当且仅当时，。面积有最小值。3所求的直线方程为：评注：此题利用均值不等式，产生一个新的不等式，解这个不等式求出的最小值，从而获解。三、判别式法解法5：设过点的直线方程为：，直线与轴、轴的正半轴分别相交于点.由图知记的面积为，则化简得：（1）将上式视为关于的一元二次方程，因为，所以，。即。面积的最小值是：，代入（1）得：此时所对应的直线方程为：评注：上述方法就是构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求解。解法6：设过点的直线方程为

4、：，则，于是因为直线与轴、轴的正半轴相交，则。记的面积为，则=化简得：（2）将上式视为关于的一元二次方程，因为，所以，。即。因为面积的最小值是：，代入（2）得：，则=所求的直线方程为：评注：此题还可以通过消去，关于的一元二次方程，利用上述方法求解。3