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《高考数学程序方法策略篇 专题2 优化解答程序，构建答题模板 第7讲 导数的应用问题 函数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第7讲导数的应用问题函数的单调性、极值、最值问题【例8J已知函数f(x)=2ax—a2+1~x2+l~(xWR),其屮a^R.(1)当a=l时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a工0时，求函数f(x)的单调区间与极值.审题破题(1)育接求f(x),得f(2)后写出切线方程；(2)求导函数f(x)后要对a进行讨论,可以列表观察函数“X)的单调性，极值.⑴当1时，f(x)=2xx2+l4f(2)p—2x2+1—2x-2x2—2x2又他)-Q扁2••••%2)=-务所以，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为46y——石(x—2),即6x+25y—
2、32=0.2ax2+1—2x2ax—a2+1⑵呛尸一石応••—2x—aax+1••••=~x2+12~-••由于a夬)，以下分两种情况讨论.①当a>0,令F(x)=O,得到xl=—£,x2=a.a当X变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表:X11~~a(-右，a)a(a,+co)f(x)—0+0—f(x)、极小值极大值所以f(x)在区间(一00,—(a,+oc)内为减函数,在区间(一£J内为增函数.函数f(x)在xl=—*处取得极小值f且卜器-血函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f(a)=l.②当a<0时，令f(x)=0,得到xl=a,x2=—丄,a当X变化时，f(
3、x)和f(x)的变化情况如下表：X(—cc,a)a(a，-》a(-占+co)F(x)+0—0+f(x)极大值、•极小值所以f(x)在区间(Fa),(-£,+s)内为增函数，在区间(a,—訓为减函数.函数“X)在xl=a处取得极大值f(a),且f(a)=l.函数Rx)在x2=—7处取得极小值f(—£)，dd且(-沪虫.综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(一£a),单调递减区间为(-co,—弓，(a,+极大值为1,极小值为一a2.当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(-co,a),(一扌，+s),单调递减区间为(a,—弓，极大值为1,极小值为一a2.I构建答题模板第一步
4、：确定函数的定义域.如木题函数的定义域为R.第二步：求Rx)的导数F(x).第三步：求方程f(x)=0的根.第四步：利用f(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个开区间，并列出表格.第五步：由f(x)在开区间内的正、负值判断f(x)在开区间内的单调性.第六步：明确规范地表述结论.笫七步：反思冋顾.杳看关键点、易错点及解题规范.如本题屮f(x)=0的根为xl=—£ax2=a.要确定xl,x2的大小，就必须对a的正、负进行分类讨论.这就是木题的关键点和易错点.跟踪训练87a2已知函数f(x)=alnx+—+x(a#)).x⑴若llll线y=f(x)在点(1,Rl)
5、)处的切线与直线x-2y=0垂直，求实数a的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.(1)解f(x)的定义域为{x
6、x>0}.a2a2F(x)=j_p+1(x>0).根据题意,Wf(l)=-2,所以2a2—a—3=0,解得a=—1或a=
7、.⑵解F(x)=b爷+1=x2+ax—2a2x2x—ax+2a三一^(x>0)・%1当a>0时，因为x>0,由f(x)>0得(x—a)(x+2a)>0,解得x>a；由f(x)<0得(x—a)(x+2a)<0,解得00,由f(x)>0得(x—a)(x+2
8、a)>0,解得x>—2a；由f(x)<0得(x—a)(x+2a)<0,解得00,使得
9、g(x)—g(x0)
10、<£对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范
11、韦
12、；若X不存在，请说明理由.审题破题⑴先求出f(x),再求g(x),然后讨论g(x)的单调区间，最值；(2)可构造函数h(x)
13、=g(x)—g(2)，通过h(x)的单调性比较g(x),g(2的大小；(3)对任意x>0若不存在x0,只需取一特殊值即可；若存在x0,—般利用最值解决.解⑴由题设易知f(x)=lnx,1x—]g(x)=lnx+~,所以g'(x)=~^~，令g/(x)=O,得x=l,当xW(0,l)时,g'(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间,当xe(i,+8)时，gr(x)>0.故(1，+8)是g(X)的单调增区间,因此，X=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最
