高数理科基础辅导班资料.doc

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1、第一章极限与连续一、本章首先冋顾了函数的基本知识，在此基础上学习了数列极限，函数极限以及无穷大无穷小的相关知识.在本章屮，我们主要要理解数列极限和函数极限的概念和几何意义，掌握数列极限和函数极限的性质，并用这些性质來进行正而和计算.二、知识要点：1.函数设兀，y是两个变量，4、B是上的非空数集，对任意的xeA,通过某一个确定对应法则（或对应关系）f,在集合中B有唯一的一•个），与Z对应，则称y是定义在A上的%的函数，记为：y=f（xxeA通常把兀称为自变量，y称为因变量（或兀的函数），兀的取值范围

2、称为函数的定义域（就是本定义中的A）.当収兀=忑时，按照对应法则f有儿=Z（A0）（儿eB）与之相对应，并称其为函数在点兀（）处的函数值；当兀在区域人上収遍时，所对应的函数值的全体称为函数的值域，记为C.即C=｛yy=/（x）,xea｝.对于函数，有以下儿点是需要注意的：1函数是建立在数集上的映射；2以上函数定义指的是单值函数；3函数的实质是一种对应关系，只耍两个变量之间能找到-•种对应，我们就说它们之间确定了一个函数；4C^B，因为函数是一个映射，包含象未必有原象的情况.5确定函数有两个要素，这

3、就是：定义域与对应法则；只有当两个函数的对应法则和定义域都相同吋，才称这两个函数是相同的.6函数之间可以定义加、减、乘、除等运算，但是运算必须在所有函数都有意义的公共范围内进行.二、数列极限1.数列极限的定义如果数列｛耳｝与常数d有下列关系：对于任意给定的正数£（不论它多么小），总存在正整数N，使得对于n>N时的一切占,不等式都成立，则称常数a是数列｛xn｝的极限，或者称数列｛xn｝收敛于°,记为hmxn=a或xna（noo）如果数列没有极限，就说数列是发散的.2擞列极限的性质极限的唯一性数列不能收

4、敛于两个不同的极限.收敛数列的有界性如果数列｛兀｝收敛，那么数列｛兀｝一定有界.收敛数列与英子数列间的关系如果数列｛九」收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.收敛数列的保序性若hmxn=a,lim儿=/;,RaocA?>N时，有X”V儿・收敛数列的保号性若limxfl=a,且a〉0（或d<0）,则存在正桀数N〉0,当n>N"T8时,都有xn>0（或兀<0）.3.收敛数列的四则运算1）若数列&”｝与伉｝都收敛，则和数列｛xn+儿｝也收敛.且lim（兀“+儿

5、）=lim£+lim儿."Tec>cc"TS2）若数列&”｝与｛儿｝都收敛，则乘积数列｛xnyn｝也收敛，且lira兀“儿=lim-lim儿/?—>0C/?—>0C"Tao丄也收敛，且儿lim〔丿nlimxnlim儿/?—>OC3）若数列｛占｝与｛儿｝都收敛，且hn主0,lim儿H0，则商数列HT84.数列的收敛判别法1）两边夹定理设&“｝,伉｝,｛_｝是三个数列•若mNwN+，V〃>N,有兀5oc—8■2）讥调有界数列必有极限若耳单调

6、增加（或减小）J1有界，则必有一常数力，使得limx“=A.n—>co3.函数极限的概念1）设函数门兀）在区间［d

7、x

8、>d｝有定义，4迅常数，若对任意对任意£〉0,总存在X>0,使得当龙〉X时，有f(x)-A00时）存-在极限或收敛，极限足4或收敛土4,衣示为limf（x）=ASK/'（x）TA（x->oo）.X—>oc2）设函数/（兀）在点兀（）的某一去心邻域内有定.如果对任意£〉0,总存在5〉0,使得対满足不等式0v

9、兀-兀（）

10、v/的一•切a-，对应的函数值/

11、（x）都满足不等式那么常数4就叫做函数/（X）当XTX。时的极限，记作lim/（x）=A或/*（兀）—>A（当兀一>兀0）.4.函数极限的性质1）函数极限的唯一性如果lim/（x）=A存在，那么该极限唯一.2）函数极限的局部有界性如果lim/（x）存在，那么函数/（切在心的某一•去心邻域内XTX（）有界.3）函数极限的局部保序性如果lim/（x）=A,limg（x）=BA>5（或AvB）,那么存在常数5〉0,当0v卜-对v»时，都有/（x）>g（兀）（或/（x）

12、如果lim/（x）=A>0（或AvO）,那么存在常数Xfo5)函数极限与数列极限的关系Iim.f(x)=4的充分必要条件是对任意以％为极限的数列{xn}(xn丰兀()),都有/(xn)->A(n->oo).3.函数极限的四则运算法则1)若lim/(x)=A,limg(x)=B则x->.v()A->X0(1)lim(/(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)=A±B•VT.V。X—>A(>A—>A0⑵lim(/(x)•g(x))=lim/(x)•limg(x)