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1、《近世代数》期末辅导一、群论二、环论1例1：设G={a,b,c},其乘法表如下：一、群论：1、群的定义，子群，不变子群证明：G是半群，但不是群。2证明：因为对任意G中三个元素所以G是半群，但由于G中没有单位元素，所以G不是群。因为a不是单位元，否则也不是单位元，否则同样，c也不是单位元。34例2：设H是群G中指数为2的子群，则H是G的不变子群。证明：指数为2是说G关于H的左陪集个数只有2个。因此，G关于H的左陪集可表示为H和aH，其中a是G的任意一个不属于H的元素。从而对任意两个不属于H的元素a和b,
2、有aH=bH.如果存在hH,使得则,于是,故,矛盾。因此,即H是G的不变子群。例3：设A，B是群G的两个子群，证明：如果AB是G的子群，则AB=BA.证：注意AB={}.因此，如果AB是群G的子群，则.所以又对任意,比如其中,于是,即所以AB=BA.52、对称群:A={1,2,…,n}上所有双射构成的集合，并按映射合成构成的群。记为（1）运算：(2)循环表达，如：6例：计算例：的乘法表73、群的同态例：设G是群，是群同态的充分必要条件是G是交换群。证明：对任意,f是群同态，则从而，即G是交换群。如果G
3、是交换群，则所以f是群同态。84、循环群设G是一个群，称由a生成的子群是G的一个循环子群，特别当G=时，称G是循环群。例：设G是阶数有限的循环群，则存在自然数n使这是模n的剩余类加法群.证明：设G=，如果元素a的周期为n,则n是自然数。于是G={}.令,直接验证是群同构.9二.环论环的定义：设R是非空集合，并有二个代数运算，分别称为加法与乘法，并记为“+”与“.”,还满足：（1）（R，+）是交换群（2）（R，.）是半群，即有乘法结合律.(3)乘法对加法有分配律.1、幂零元，可逆元等例：设R是交换环，则
4、R中幂零元的和是幂零元，但幂零元与可逆元的和是可逆元。证明：设是幂零元，于是如果c是可逆元，由于并且也是幂零元，所以是可逆元，故是可逆元。102、左理想，右理想，理想（1）定义：I是环R的左理想,如果对I中任意两个元素a,b,有,并且对任意有类似有右理想，理想（双边理想）的定义.(2)如果I是环R的理想，则可构造商环,运算是例：模n的剩余类环其中元素,习惯记为113、模n剩余类环中的计算()例：在中计算下面两个多项式的加法运算和乘法运算：解：12例：在中求元素的逆元。解：由于，所以4、设是整数环Z中的
5、两个主理想，求生成元a,b使解：a是n与m的最大公约数，b是n与m的最小公倍数。例：求生成元a,b使解：a=12,b=7213,然后按理想定义证明：5、环同态所以,Ker(f)是理想。例：设是环同态，则Ker(f)是R的理想。证明：由于,如果则1415例：设R=是整数环上2阶矩阵环，矩阵证明：是环的同态，并问是否为环同构？证：所以是映射，只须证明保持环的运算故是环的同态，又是双射，所以是环的同构。6、极大理想例：在有理系数多项式环Q[x]中，证明主理想是极大理想。所以是极大理想。例：在整系
6、数多项式环Z[x]中，证明主理想不是极大理想。因为不是域。167、素理想、完全素理想设R是环，真理想I称为素理想，如果对R中任意两个理想A，B，若,有或设R是环，理想I称为完全素理想，如果对R中任意两个元素有或例：是域当且仅当n是素数当且仅当nZ是素理想当且仅当nZ是极大理想。例：Z中零理想{0}是素理想也是完全素理想,但不是极大理想。178、相伴元，既约元，素元在整环R中，两个元素a,b称为相伴元，如果存在可逆元d使得a=db.在整环R中，非零非可逆元素p称为既约元，如果p=ab,则a是可逆元
7、或a与p是相伴元。当然对于b也是如此。在整环R中，非零非可逆元素p称为素元，如果p整除ab，则p整除a或p整除b.1819素元都是既约元，但反之不对。但在主理想环中，既约元也是素元。例、证明是整环，并且2是该整环的既约元，但不是素元。证明：首先证明是有单位元1的交换环，然后证明，该环是无零因子环.事实上，如果,则如果,则于是从而现在若如果则由于a,b,c,d都是整数，所以上式是不可能的。故d=0,同理b=0,于是则20所以的可逆元只能是1或-1.于是2不是可逆元。但若2=则2=于是4=故所以2是既约元
8、。21但2
9、4=，并且2不整除所以2不是素元。例、M=
是主理想环R的一个非零理想，并且MR,则M是极大理想当且仅当p是既约元。例、M=是多项式环Q[x]的极大理想，因为x+3是Q[x]的既约多项式。229、欧氏环，唯一分解环欧氏环：整环，且有带余除法的环。具体说，设R是整环，如果存在R的非零元素集到非负整数的映射,使得对R中任意元素a,b，存在R中元素q,r使得b=aq+r,其中r=0或例、整数环Z，数域F上多项式环F[x]都是欧氏环。唯
