微积分教学教案（西南财经大学） (42)-同城考研网.ppt

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1、§9.2在直角坐标系下二重积分的计算何意义来寻求二重积分的计算方法.设曲顶柱体的曲顶是z=ƒ(x,y)(≥0),底是区域D,zyOxDz=ƒ(x,y)baD是xy平面上由直线与曲线所围成.x=a,x=b(a

2、因对于区间[a,b]上每一个固定的x,S(x)就是一个曲边梯形的面积,此曲边梯形的曲边是由方程z=ƒ(x,y)确定的关于y的一元函数,而底边是沿着y轴方向从的线段.作一个垂直于x轴的平面去截曲顶柱体;其截面面积设为S(x),平行切面截面面积已知的立体的3zyOz=ƒ(x,y)S(x)故由曲边梯形的面积公式得或称先对y再对x的累次积分.常简写为上式右端的积分称为二次积分4ƒ(x,y)中的x看成常数,此时积分的结果为量x的函数;再将此函数对x在区间[a,b]上求定积分.注2去掉上面讨论中的限制ƒ(x,y)≥0,等式照样成立.xODy注1此式告诉我们:在计算二重积分时,首先把被积将ƒ(x,

3、y)对y从作定积分;函数=S(x)是变在y轴上任取一点y,过该点作一条垂直于y轴的直交点不多于两个,即一进一出.与D的边界曲线之此区域为Y―型区域.注3线去穿区域,y5注4同理：当被积函数是z=ƒ(x,y),积分区域D(Y―型即D为此时,ƒ(x,y)的二重积分为先对x再对y的累次积分.y=c,y=d(c

4、画出积分区域D的图形,并写出D的边界方程,作两次定积分的计算.化二重积分为二次积分的关键是:“选择积分次序和确定积分上、下限”如何根据区域D来确定两次定积分的上、下限呢?再由D的形状找出区域D内点的坐标所满足的不等式.同学们会感觉困难!8特殊地,若区域D是一矩形:a≤x≤b,c≤y≤d,xyOdcab即积分区域D是一矩形时,其积分次序可交换.则二重积分9——这是先对y再对x的累次积分.同学们一定要注意要固定x为常数.对y积分时——这是先对x再对y的累次积分.同学们一定要注意要固定y为常数.对x积分时10解先作出区域D的图形：xyO−111y=x+1y=1－x如果按先对y再对x积分,则

5、D应分为此时对二重积分的计算需计算两个二次积分;如果按11xyO−111x=y−1x=1−y先对x再对y积分,则D可表为此时对二重积分的计算只需计算一个二次积分.12解(如图)若先对y后对x积分,则有函数表示,积分难以进行;故不用此法.xyOy=x11xyOy=x11若(如图)先对x后对y积分,则积分区域D为：因的原函数不能用初等13并请同学们注意：凡遇等不能用初初等函数表示的积分,均须更换积分次序.但在更换积分次序时,必须14先画出积分区域D的图形,再根据积分次序的要求,重新写出D的边界方程.yx11o−1−115yx11o−1−116xy31ox=3−2y17解因的原函数积不出来

6、,按先对y后对x的积分次序xyO11由题意知其X―型区域为：(Y―型区域)无法计算出结果,故须改变积分次序.另解:利用分部积分公式,令则有18注7当积分区域D是一矩形:a≤x≤b,c≤y≤d,且ƒ(x,y)=g(x)h(y)时,则二重积分19则2021xyOy=x2−1−2xy1o−1222xy1o−1223