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1、负频率的意义负频率的意义学侍号与系统的时候，看到傅立叶变换，得到的频谱冇负频率。负频率是什么呢？当时xialulee没有想通，频率怎么会有负的呢？看了一•些参考书，都是说这不过是数学上的问题，没有什么实际物理意义的。但是xialulee不愿接受这个说法。时不时想想这个问题，终于清楚了。这几天研究m语言，不知为何突然又想起这个尘封已久问题，觉得应该把对于负频率的解释放在网上，利川Matlabilllj图进行解释，希望能对人家有所帮助。频率怎么会有负的？很奇怪吧，其实负频率是个很好理解的概念，为了说明这个问题，我描述一
2、下负速度这个概念，我们知道在定义了正方向后，与正方向相反的方向运动的物体，就可以说是具有负速度，这是显而易见的。与速度类似的一个概念是角速度，如果我们把逆时针旋转定义为正的角速度，则顺时针旋转就具有负角速度，这也是显而易见的。在某种情况下，可以将角速度和角频率等同起来，也就是小欧米伽3。傅立叶变换可视为将一个信号分解为无数个exp(jot)分量的和，上文说了，对于正的角频率，可视为逆时针旋转，则负的角频率就是顺时针旋转。我们利川复平面和垂玄于复平面的时间轴作为一个三维空间，则exp(jst)在这个空间屮呈现出螺旋线
3、的形状，类似弹簧。对于正频率，即3〉0,俯视复平血时这根“弹簽”是逆时针的，对于负频率，即o<0,这根“弹簧”是顺时针的。为了说明问题方便，我们这里以余弦函数为例，对于cos(sO)t來说，其频谱的表达式是：兀[63-®0)+6(3+sO)],在正负30处有两个冲击，正30处的冲击对应的exp()分量为角频率是30(逆时针旋转)，幅度为兀/2Ji=0.5,初相为0,即与实轴的夹角为0；负a)0处的冲击对应的exp()分量是角频率为-a)0(即旋转速度为30,但方向是顺时针),幅度为n/2n=0.5,初相为0,即与实
4、轴夹角为0。用Matlab绘制这两个分量，代码和图形如下，x轴对应信号的实轴，y轴对应信号的虚轴，z轴对应时间轴，输入余弦函数假设为w0=2n，幅度范围是-广+1：m代码：clearall;w=2*pi;t=0:0.01:4;vl二exp(j*w*t)/2;v2二exp(-j*w*t)/2;subplot(1,2,1);plot3(real(vl),imag(vl),t);subplot(1,2,2);plot.3(real(v2),imag(v2),t);figure(2);plot3(real(vl+v2),i
5、mag(vl+v2),t.);图形:-054).5左边是正频率对应的exp(jwOt)分量，可以看岀是逆时针；右边是负频率对应的exp(-j30t)分量，顺时针。让我们再看看这两根“弹簧”在由时间轴和实轴构成的平面上的投影：4注意竖直的是时间轴，而水平的是信号实部的幅度，这两根旋转方向相反的“弹赞”在实轴和时间轴构成的平面上的投影具有相同的形状，就是cos函数的形状，只不过幅度只有原余弦信号的一半（在将两个分量合成之后，我们就会发现幅度二侍号的幅度了）。再看看两根“弹簧”在由虚轴和时间轴构成的平血上的投影：注意竖百
6、的是时间轴，水平的是信号虚部的幅度：4-0500.5两个投影之间差了-•个负号。如果我们将这两根“弹簧合成”，由于它们在实轴上的—致，所以实部会增大一倍，它们在虚轴上的投影相差一个负号，所以会抵消为0,合成图如下：显然这个图形只在由实轴和时间轴构成的平血屮具有幅度了，让我们看看实轴和时间轴构成的平面上信号的样子，注意竖玄方向是时间轴，水平方向是信号实部的幅度：还原了我们的余弦信号。这下我们知道负频率是什么了吧，一般而言，进行变换的信号一般都是实信号，但是傅立叶变换试图用无数个exp（jst）來合成，而exp（jwt
7、）是复平血和时间轴构成的空间屮的螺旋线，它有虚部。只有将某一频率的分量，分解为一正一•负两个旋转方向相反的螺旋线，才能使分量的合成后保留实部，抵消虚部，还原原來的实信号，也就是说，如果没有负频率的分量，那么我们无法用exp（j^t）来合成一个实信号。为了充分地说明问题，下血再以sin函数为例重复上血的过程：sin（oO）t的频谱是-jll6（3-30）+jJl6（3+30）,它有两个分量，一个对应频率为30,在t二0时刻其值为-j,也就是初相为-90度（与实轴夹角为负90度），幅度为ji/2ji=0・5;另一个对应
8、频率为-30,在t=0时刻其值为j,即初相为90度（与实轴夹角为90度），幅度为0.5。下面是m代码（x轴对应信号的实轴，y轴对应信号的虚轴，z轴对应时间轴，输入止弦函数假设为30=2兀,幅度范围是T+1）:clearall;w=2*pi;t=0:0.01:4;vl=-j*exp(j*w*t)/2;subplot(1,2,1);plot.3(real(vl)
