计算机控制与仿真-第2章控制系统的数学模型.ppt

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1、本章主要教学内容本章主要介绍控制系统数学模型的相关知识，通过本章的学习，读者应掌握以下内容：系统微分方程建立的一般方法传递函数的定义、性质和意义控制系统的开、闭环传递函数及典型环节传递函数动态结构图及其等效变换状态空间描述与状态方程各种数学模型之间的相互转换第2章控制系统的数学模型第2章控制系统的数学模型本章教学目的及要求l熟悉常用的数学模型及其特点l掌握微分方程、传递函数、动态结构图、状态空间法的基本表达l熟悉各种数学模型之间的相互转换2.1微分方程第2章控制系统的数学模型2.2传递函数2.3动态结构图及其等效变换2.

2、4状态空间描述2.5数学模型的相互转换2.1微分方程控制系统的数学模型通常是指动态数学模型。最基本、最重要的数学模型是微分方程，它反映了元部件或系统动态运行的规律。建立系统的数学模型，一般是根据系统的实际结构、参数及计算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系统的数学模型既能准确地反映系统的动态本质，又能简化分析计算的工作。建立数学模型比较常见的方法是解析法和实验法。解析法是根据系统及元部件中各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出系统各变量之间数学表达式，然后建立起系统的数学模型；实验法是采用某些检测仪器，在现

3、场对控制系统加入特定信号，对输出响应进行测量和分析，得到实验数据，从而建立系统的数学模型。2.1.1微分方程的建立1.微分方程建立的一般步骤采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是：（1）确定系统或元部件的输入、输出变量。（2）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。（4）消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。（5）进行标准化处理，将输出各项放在

4、等号左端，输入各项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。【例2.2】R—L—C串联电路，建立该系统的微分方程。解：在R—L—C串联电路中，输入电压Ur为系统的输入量，输出电压Ｕc为系统的输出量。根据克希霍夫定律，可以得到回路的电压方程如下：电容Ｃ两端的电压为：中间变量为：带入原始方程中，消去中间变量，并移项整理得：该式即为R—L—C串联电路的微分方程。2.1.2线性微分方程的求解采用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤（1）将系统的微分方程进行拉普拉斯变换，得到以S为变量的代数方

5、程，也称为变换方程。（2）求解变换方程，得到系统输出变量的象函数表达式。（3）将输出的象函数表达式展开成部分分式。（4）对部分分式进行拉普拉斯反变换，即可得到系统微分方程的解。2.1.3非线性数学模型的线性化处理1.线性化的基本概念所谓非线性数学模型的线性化就是对一个非线性系统的数学模型找出其稳定的平衡点，如果在工作过程中，代表系统属性的各物理量只在该平衡点附近产生微小的变化，非线性系统模型就能够以此平衡点为基础，表示成一个线性模型，关于线性系统的控制理论都能适用于该模型。这便是自动控制理论里关于小偏差线性化方法或称增量

6、线性化方法的概念。2.非线性数学模型的线性化的基本方法对于非线性系统，当系统变量偏离工作点的偏差值很小时，由级数理论可知，若变量在给定的工作区间内其各阶导数存在，便可在给定工作点的邻域内将非线性特性展开为泰勒级数，当偏差的范围很小时，可以忽略级数中偏差的高次项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。3.求线性化微分方程的步骤（1）按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。（2）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。（3）

7、将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。（4）消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值加偏差量来表示。2.2传递函数2.2.1.传递函数的概念1.传递函数的定义对于一个线性定常系统，在初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为该系统的传递函数。表示为：2.传递函数的求取按照传递函数的定义，利用系统的微分方程进行相应的拉氏变换，即可得到系统的传递函数。3.传递函数的性质根据线性定常系统的传递函数表达式的分析，传递函数具备下列性质：（1）传递函数是描述线性

8、系统或元部件动态特性的一种数学模型，在形式上与系统的微分方程一一对应。（2）传递函数只表明输入变量与输出变量之间的动态关系，不能够反映出系统内部的信息。（3）传递函数只能直接反映系统在零初始状态下的动态特性，即在零时刻之前，系统在给定工作点处是相对静止的；若系统处于非零初始状态下，则传递函数无法反映系统的特性和运动规