自由电子气体的热性质.ppt

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1、§1.2自由电子气体的热性质本节主要内容:1.2.1化学势随温度的变化1.2.2电子比热一、费米---狄拉克分布（费米分布函数）T0K时，N个电子在本征态的分布不能再简单地由泡利不相容原理决定。要由费米---狄拉克分布函数，亦即费米分布函数给出。1.表达式：下面简单复习热统中学过的费米分布函数的知识2.物理意义表示N—电子体系在热平衡态(温度为T)时，能量为i的单电子本征态被一个电子占据的概率，亦即该电子态的平均电子数。是N电子热力学体系的化学势化学势恒温、恒体积下自由能随粒子数的变化可由归一化条件确定1.2.1化学势随温度的变化说明：化学势是恒温、恒体积下自

2、由能随粒子数的变化，它的意义是在体积和温度不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。对于N电子体系的金属来说，相应于费米能级的变化，所以，化学势和费米能级F不加以区分。（后面将进一步给出解释）3.费米分布函数的特点因此，很多的固体书中把费米分布函数表示为：注意：下面的分析中，和书中有区别，所以，我把i用E来表示，化学势(或费米能级F）换成EF从而，费米分布函数表示为：下面我们讨论的关系随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在EF附近kBT范围内。当T0K，E=EF时，反过来，也可求费米能4.求EF的表达式(亦即化学势

3、随温度的变化p9）分两种情况讨论：E~E+dE间的电子状态数：E~E+dE间的电子数：系统总的电子数：(1)在T=0K时，上式变成：将自由电子密度N(E)=CE1/2代入得：其中这和前面得到的结果一样dZ=N(E)dE(利用分步积分)(2)当T0K时=0则上式化简为因此一方面，另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数：函数的特点具有类似于函数的性质，仅在EF附近kBT的范围内才有显著的值，且是E－EF的偶函数。只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到稍后解释很显然，I0等于１，由于　　为(E-EF)的偶函数，因此I1=0。令(E-EF)/kBT=，

4、则得：由此可证得为偶函数得:=1=0由于系统的电子数由于kBT<

5、--105K。3.电子气的摩尔热容量为N0为每摩尔的原子数,Z为每个原子的价电子数，电子热容系数。N0kB=R，R=8.31441J/mol·K为气体常量。4.电子的热激发仅发生在费米面附近kBT范围的解释前面得到了N电子系统每个电子的平均能量为：总能量：由于温度升高引起的能量变化费米面附近能量为kBT范围的电子数所以,电子的热激发仅发生在费米面附近能量为kBT范围二、电子气摩尔热容量的讨论1.在常温下晶格振动对摩尔热容量的贡献的量级为J/mol·k2(见第五章)而电子比热的量级为mJ/mol·k2。电子比热与晶格振动比热相比很小，如何解释呢?这是因为尽管金属中有大

6、量的自由电子，但只有费米面附近kBT范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。所以电子的热容量很小。电子热容量可以直接提供费米面附近能态密度的信息。2.电子气能态密度很多金属的基本性质主要取决于能量在EF附近的电子，从k空间看，也就是在费米面Ｅ＝ＥF附近的电子，因此研究费米面附近的状况具有重要意义。根据以上的分析知道电子的热容量可以直接提供对费米面附近能态密度的了解。总电子数目电子气和晶格振动对摩尔热容贡献之比为：3.低温时金属比热在温度甚低时，两者的大小变得可以相比，晶体的摩尔热容量可以表示为：(参见教材P111)