方阵的特征值特征向量与相似化简第一讲.ppt

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1、线性代数机动目录上页下页返回结束教学目的：通过本章的教学使学生理解方阵特征值与特征向量和相似矩阵的概念、性质和方阵相似对角化的条件.会求方阵特征值与特征向量和方阵的对角化.教学要求：要求学生深刻理解方阵对角化的条件，会将一个方阵化成对角矩阵.教学重点：相似对角化条件和方阵的对角化.教学难点：相似对角化条件和方阵的对角化.教学时间：8学时.机动目录上页下页返回结束第五章方阵的特征值特征向量与相似化简教学目的：通过本节的教学使学生了解数域和多项式的根理解方阵特征值与特征向量概念,掌握方阵特征值与特征向量的求法.教学要求：理解方阵特征值与特征向量概念,掌

2、握方阵特征值与特征向量的求法.了解特征值与特征向量的用途.教学重点：各种求特征值与特征向量方法.教学难点：求矩阵的特征值与特征向量.教学时间：2学时.机动目录上页下页返回结束§1数域多项式的根§2矩阵的特征值与特征向量第五章方阵的特征值特征向量与相似化简本章将讨论的内容包括数域、多项式的根、方阵的特征值与特征向量，相似矩阵及其性质以及在相似条件下把矩阵化简为对角矩阵和Jordan形矩阵的相关问题.§1数域多项式的根数，是数学的一个最基本的概念.对于反映数量关系的数学问题，其结果往往和所考虑的数的范围有关.例如多项式x4-2的因式分解问题，它在有理数

3、范围内已经不能再分解了，而在实系数范围内就可以分解为进而在复系数范围内就可分解为1.1数域机动目录上页下页返回结束可见对于同一个问题，当所考虑的数的范围不同时，结果就可能是不同的.因此，我们常常需要事先指明所涉及数的范围.数域就是描述数的范围的一个概念.定义1.1设F是一个数集，其中至少包括两个不同的数.如果F中任意两个数的和、差、积、商（当除数不为零时）仍是F中的数，则称F为一个数域.由定义1.1可知，任何数域F至少包含0和1.这是因为，若α∈F，则α-α=0∈F，由于F中必有非零数b，于是如果集合F中的任意两个元素做某种运算其结果仍在F中，我们

4、就说F对这种运算封闭.于是，数域就是含有不同元素并且对四则运算（除数不为0）封闭的数集.第五章实数域、复数域和有理数域是最常用的数域.但数域决不止这三个.不难验证数集构成一个数域.若将上面的换成得到的相应数集也都是数域.可见数域有无穷多个.有理数域是最小的数域；复数域是最大的数域.以下讨论问题时，凡涉及到数的，我们总假设是在某个数域上进行的.此时，参与运算的数都要限定在该数域内例如，f（x）是实数域上的多项式，就是指f（x）的所有系数都是实数.容易验证，全体有理数的集合是一个数域，称为有理数域，记为Q.全体实数的集合、全体复数的集合也都是数域，分别

5、称为实数域和复数域，记为R和C.机动目录上页下页返回结束1.2多项式的根与标准分解式定义1.2对于非负整数n及数域F上的数ai(i=1,2,…,n),变量x的形式表达式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(1)称为数域F上的一个多项式.当an≠0时，则称（1）为一个一元n次多项式，非零数an称为该多项式的首项系数，a0称为常数项.例如3x4+x-2是一个4次多项式；3是一个0次多项式；所有系数都是0的多项式0称为零多项式.零多项式不定义次数.如果为了方便，也可以认为它的次数为-∞.第五章机动目录上页下页返回结束对于正整数n，与n次

6、多项式f(x)对应的方程f(x)=0称为n次代数方程.例如一元二次方程ax2+bx+c=0,a≠0.它的根依据a，b，c的不同取值可能为不同二实根、相同二实根或共轭二复根.重复出现的根称为重根，其重复出现的次数称为该重根的重数.重数为1的根称为单根.定理1.1在复数域上，n次代数方程恰有n个根(n≥1).定义1.3对于n次(n≥1)多项式f(x)，代数方程f(x)=0的根亦称为多项式f(x)的根或零点.根据定理1.1及定义1.3可知：n次(n≥1)多项式f(x)在复数域上恰有n个根（重根的个数按其重数计算）.按照根与一次因式的关系，多项式f(x)的

7、每一个根xi都对应着f(x)的一个一次因式x-xi，如果n次多项式(1)的全部互异的根为x1,x2,…,xt，它们的重数分别为n1,n2,…,nt，则有(2)并且n1+n2+…+nt=n.(2)式右端称为多项式f(x)在复数域上的标准分解式.例如对于多项式f(x)=x3+2x2+x，分解式f(x)=x(x+1)2，f(x)=(x+1)2x都是标准分解式，而f(x)=x(x+1)(x+1)，都不是标准分解式.机动目录上页下页返回结束§2方阵的特征值与特征向量一.特征值与特征向量的概念定义2.1对于n阶矩阵A=(aij),其主对角线上n个元素之和a11

8、+a22+…+ann称为A的迹，记为trA.(3)定义2.2对于n阶矩阵A=(aij),把含有字母λ的矩阵称为A的特征多项