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1、1997年全国大学生数学建模竞赛A题组员：张庆、胡江璇、辛美婷A题零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成。标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数，零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的三倍。进行零件设计，就是要确定其标定值和容差，这时要考虑两方面因素：1、当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质
2、量损失，偏离越大，损失越大。2、零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件设计方法粒子分离器某参数（y）由7个零件的参数（记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）决定，经验公式为y的目标值（记作y0）为1.501、当y偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损失为1，000元。2、当y偏离y0±0.3时，产品为废品，损失为9，000元。零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为±1%,B等为±5
3、%,C等为±10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号“/”表示无此等级零件）。标定容许范围C等B等A等X1[0.075,0.125]/25/X2[0.225,0.375]2050/X3[0.075,0.125]2050200X4[0.075,0.125]50100500X5[1.125,1.875]50//X6[12,20]1025100X7[0.5625,0.935]/25100现成批生产，每批生产1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1
4、、x2=0.3、x3=0.1、x4=0.1、x5=1.5、x6=16、x7=0.75;容差均选最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。问题分析本题是一个最优化问题，目的是要通过模型求出单个零件的最小费用，而找到最优解，也就是问题中所提到的标定值和容差，因此，该模型，我决定建立标定值，容差和单个零件费用之间的函数关系，通过matlab数学软件求解有约束的非线性规划问题，因而可以得到所要的最优解。模型建立1、先来讨
5、论质量损失的计算。由题目中所给的“如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。”这说明质量损失的计算应具有两个特点:只要y不等于y0那麽就有质量损失;损失值与
6、y-y0
7、成正比。因此,给出如下函数其中，k是常数将题目中所给的两组损失数值代入上式,求得k=100000因此上式符合上述的两个特点，称为表征质量损失的函数。2、本题要求的是使总费用最少的设计方案。总费用由两部分组成：零件成本和y偏离y0造成的质量损失。零件成本只取决于零件的相对容差，设第i种零件的成本为，则七种零
8、件总成本为y是由零件参数X0=(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)决定的，即经验公式y=f（X0），由假设xi可视为相互独立的随机变量，那麽y也是随机变量。大量生产时，平均每件产品的质量损失费用应该用表征质量损失的函数F(y)的期望来度量。而该期望又由各种零件参数的标定值X0和相对容差决定。设总费用函数为P,那麽3、下面讨论(2)的具体表达式。由其中是y的期望值,是的y方差。现在来推导与将y=f(X0)在X0=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)处进行Taylar展开,并略去二阶以上
9、各项。则那么其中，是的均方差=从题目中以知,零件的容差,相对容差,将这些代入上式(3),则目标函数的最终表达式为模型求解由于所求解中,包含连续变量标定值X0,也包括离散变量相对容差mi,因此给求解带来困难，我们采用分离方法求解。从容差表中可知,七种零件的容差共有1×2×3×3×1×3×2=108种组合,可以采用穷举法,求出每种容差组合m0=(m1,m2,…m7)下的最优解X0和P1,此时求P1的表达式为:而此种组合下的总成本为P=P1+C(m0)再对108个总费用进行比较，找出其中最小的，其对应的X
10、0和m0组合，既是所要找的解。Mins.t.i=1,2,3,4,5,6,7、是标定值的上下限结果与分析原设计的单位零件费用为:6507.2元求得最优的零件标定值和相对容差为x1x2x3x4x5x6x70.07500.36430.12500.10891.276115.98340.6328m1m2m3m4m5m6m75%5%5%10%10%5%5%对应的单个零件的最小费用为:P=751.0918元谢谢！
