放宽条件的回归模型异方差性.ppt

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1、第六章放宽条件的回归模型（2）异方差性教师：卢时光在前面的学习中，我们详尽的考察了经典正态线性回归模型，我们用它来进行估计和假设检验和预测问题。但是，这个模型是建立在一些简化了的假定基础之上的。这些假定包括：1.回归模型对于参数而言是线性的。2.各回归元X的值在重复抽样中是固定的。3.给定的X，干扰ui的均值为零。4.对于给定的X，ui的方差不变或称之为同方差性。5.对于给定的X，干扰无自相关。6.如果X是随机的，则干扰项与各个X是独立的至少是不相关的。7.观测的次数大于回归元的个数。8.回归元的取值必须有足够的变异性。9.回归模型被正确的设定。10.回归元之

2、间无多重共线性。11.随机干扰项ui是正态分布的。遗憾的是，我们尚无法对所有的问题都给出令人满意的答案。接下来的工作中，我们对某些假定给予更多的注意，当然有些假定我们并不过分的深究，特别是假定1、2、3、6和11中的问题。威瑟里尔（Wetherill）指出，实际上在应用经典线性回归模型时，有两类问题需要注意：（1）关于模型设定及对干扰项ui的假定问题，诸如假定1、2、3、4、5、9和11；（2）关于对数据的假定问题，诸如6、7、8和10。关于对来自干扰和模型设定的假定问题主要有三：1.要偏离一个具体的假定多远才会产生不可忽视的差别？如ui不是正态分布，那么我们能

3、够容忍多大程度上的正态性偏离？2.在一个具体问题中，我们怎样发现某一个假定被破坏？比方说我们介绍过利用雅克-贝拉检验来检验ui的正态性。3.如果一个或者多个假定被破坏，我们能够采用什么样的补救措施？在剩下的问题中，假定7、8和10是紧密相关的，我们在多重共线性问题中探讨；假定4在异方差问题中探讨；假定5在自相关问题中探讨。我们在探讨这些问题的时候，遵循下列范式：1.明确问题的性质；2.分析它的影响；3.提出侦测它的方法；4.考虑补救的措施。2异方差性经典线性回归模型假定：假定4：对于给定的X，ui的方差不变或称之为同方差性。1.异方差的性质以解释变量的给定值为条

4、件的每一个干扰ui的方差是一个等于的常数，即同方差性。同方差性意味等同的分散程度。用符号来表示：从图形上来看，以给定Xi为条件的Yi的条件方差（等于ui的条件方差），不管变量X取什么值，都保持不变。如果随着Xi的取值的变化，方差不再是一个常数，则称存在异方差性。用符号来表示：下图表明，Yi的条件方差随着X增加而增加：ui方差变化的理由（1）边错边改学习模型。人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少。这时，预测会减小。例如，在给定的时间里，随着打字练习时间的增加，不仅打字出错的个数而且打错个数的方差都有所下降。很多人类的行为，包括经济行为也遵循着学习模型。例如生

5、产。（2）随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配它们的收入有了更大的选择范围。例如，做储蓄对收入的回归时，很可能发现与收入具增。同理利润丰厚的公司比利润微薄的公司在红利分配政策上，可以预料有更大的变化。（3）随着数据采集技术的改进，可能减小。（4）异常值出现，往往产生异方差。例如，下图描绘了二次世界大战之后到1969年20个国家的股票价格波动于消费价格波动的关系。图中，智利的观测值远大于其他国家，可看做一个异常值。类似这种情况，同方差性就无法保证了。剔除异常值是通常维持同方差性的方法之一。（5）回归模型设定是不正确的。例如在一个对商品的需求函数中，忽

6、略了互补或替代商品的价格，则回归残差可能会给人以异方差的表象；而将所忽略的变量包含在内时，这种印象也许就消失了。注意，异方差问题在横截面数据中比时间序列数据中更常见。考虑下面一个例子。平均地来看，大的厂商比小的厂商平均支付更多的工资。但是在不同的行业工资有较大的变异性。这一点还可以从职工人数组组内的工资极差（最高与最低值的差）看出来。从一组到另一组，极差说明了各职工人数组的工资收入的异方差性。2.出现异方差时的OLS估计现在引入异方差性，保留经典模型的其他所有假定，双变量模型的OLS估计是：此时，方差的表达式不同于同方差假定下的方差公式：当然如果对于每一个i都有

7、，这两个公式是相同的。如果经典模型的所有假定，包括同方差性在内，全部成立，则是最优线性无偏估计量（BLUE）。现在我们取消同方差性的假设，容易证明仍然是线性的和无偏的。但是它不是最优的。为什么虽然是无偏的但不是最优的？直观的理由是：好比在一个袋子中随机摸两种颜色的彩球，如果红球的数量是黑球的两倍，那么随机摸出红球的数量也是黑球的两倍，公平起见，我们规定摸一次黑球等于两个红球，这样摸出红球和黑球的几率才会相等。那么我们如何在回归中利用这种组间的变异呢？如图所示，个就业组之间的工薪收入有相当大的变异。如果我们做工薪收入对就业人数回归，不同就业人数的工薪收入变化是不同

8、的，雇佣人数少的和雇佣人