控制工程3控制系统的数学模型.ppt

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1、控制工程基础主讲教师：张志成通信工程学院控制理论与控制工程系第二章控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型拉普拉斯变换及其应用控制系统的复域数学模型控制系统的传递函数控制系统的图形表示：结构图和信号流图2.2拉普拉斯变换及其应用Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。函数F(s)称为f(t)的拉氏变换（或称为f(t)的象函数），函数f(t)称为F(s)的原函数，

2、以上公式简称为拉氏变换式，用记号L[f(t)]表示，即2.2.1拉氏变换的定义定义设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分对于s在某一范围内的值收敛，则由此积分所确定的函数可写为2.2.1拉氏变换的定义说明：（1），和均为实数，s为一个复参量；（2）定义中，只要求t≥0时f(t)有定义，为了方便假设t<0，f(t)=0；（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，是一种积分变换，一般地在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的，故以后不再对其存在性进行讨论。拉氏反变换2.2.1拉氏变

3、换的定义为拉氏反变换的符号。2.2.2简单函数的拉氏变换单位阶跃函数指数函数正弦（余弦）函数单位斜坡函数f(t)t011单位脉动函数f(t)0Ɛt1/Ɛ单位脉冲函数f(t)01/Ɛt2.2.3拉氏变换的性质叠加原理则有若a,b是常数，且微分定理若则有式中f(0)是函数f(t)在t=0时的值。微分定理推论若则有式中f’(0),f’’(0),…是函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。微分定理推论当初始条件为f(0)=0时，则有积分定理若则有位移定理若则有延迟定理若且t<0时f(t)=0,则对于任一非负实数τ

4、，有0τtf(t)初值定理若，且存在，则或写为终值定理若，且的所有奇点全在s平面的左半部，则或写为相似定理若且a为大于零的常数，则2.2.4拉氏反变换部分分式法若f(t)的拉氏变换F(s)已分解为下列分量其拉氏反变换可写成对于控制系统，可写成如下形式式中，系数a0，…，an和b0,…,bm为由系统结构参数决定的实常数，且m≤n。对F(s)的分母进行因式分解，则有对F(s)的分母进行因式分解，则有式中，s1，…，sn是方程A(s)=0时的根，称为F(s)的极点。即可将F(s)展开成部分分式的形式。有重根的

5、情况分解如下系数如下2.2.5求解常系数线性微分方程将微分方程经过拉氏变换转换成关于s的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。2.3控制系统的复域数学模型用拉氏变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域中的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率分析法和根轨迹分析法，就是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概

6、念。2.3.1传递函数定义线性定常系统或元件，在其初值为零条件下，其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统或元件的传递函数。零初始条件（1）t<0时，输入量及其各阶导数均为零；（2）输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为零。机械平移系统mfi(t)xo(t)k0DRLC无源网络电路说明（1）传递函数的概念仅适用于线性定常系统。（2）系统的传递函数是一种数学模型，它表示联系输出变量与输入变量的常系数微分方程的一种运算方法。（3）如果系统的传递函数已知，

7、则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握系统的性质（系统的结构和参数）。说明（4）如果不知道系统的传递函数，则可以通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。系统的传递函数一旦被确定，就能对系统的动态特性进行充分描述。传递函数的性质（1）传递函数是复变量s的有理真分式，即n≥m；（2）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，是系统的一种属性，与输入输出无关；（3）传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换；（4）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系；（5）局限性：在

8、初始条件非零情况下不适用。传递函数的零点和极点传递函数有两种基本形式：式中z0，…，zm称为零点，p0,…,pn为称为极点。令：称D(s)为系统的特征多项式，称D(s)=0为系统的特征方程。特征方程决定着系统的动态特性，其根称为特征根。特征方程的根就是系统的极点。在复平面中，零点用“o”表示，极点用“x”表示传递函数零极点的作用（1）传递函数的极点产生运动模态；（2）传递函数的零点不能生成自由运动模态，但它可以影响各运动模态在响应中的比重：