苏教版理2014届高三必备数学大一轮复习讲义18章配套课件课时检测导学案配套文档154份3.4 导数的综合应用.doc

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1、3.4导数的综合应用一、填空题1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高为________cm.解析　设圆锥的体积为Vcm3，高为hcm，则V＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，由V′＝0，得h＝.所以当h＝cm时，V最大．答案　2．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是________．解析　因为函数y＝ex＋2mx，有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于零的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交

2、点必在第一象限．由图象可得－2m>1，即m<－.答案　m<－3．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的________．答案　必要不充分条件4．已知函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________．解析　f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，显然a>0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，由已知条件0<<1，解得0

3、则a的取值范围是________．解析　结合二次函数图象知，当a>0或a<－1时，在x＝a处取得极小值，当－1

4、＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．答案　(－2,2)8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为S＝27t－0.45t2米，则列车刹车后________秒车停下来，期间列车前进了________米．解析　S′(t)＝27－0.9t，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t＝30(秒)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．答案　30　40

5、59．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围是________．解析　由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(x)≤0在x∈(－1,0)上恒成立，即3x2＋2ax＋b≤0在x∈(－1,0)上恒成立，∴∴a，b所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O到直线2a－b－3＝0的距离d＝，∴a2＋b2≥d2＝，∴a2＋b2的取值范围为.答案　10．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．解析

6、　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．令f′(x)＝0得x＝0或x＝2当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.∴当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a.∴，解得：－4＜a＜0.答案　(－4,0)11．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．解析　如图所示，设AD＝xm(0＜x＜1)

7、，则DE＝AD＝xm，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x(m)，又S△ADE＝x2(m2)，∴梯形的面积为－x2(m2)，∴s＝×(0＜x＜1)，∴s′＝×，令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈时，s′＜0，s递减；当x∈时，s′＞0，s递增．故当x＝时，s的最小值是.答案　12．已有函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)＜0的解集是________．解析　在(0，＋∞)上有f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．

8、又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝0.当x＞0时，f(x)＜0，∴0＜x＜1；当x＜0时，图象关于y轴对称，f(x)＞0，∴x＜－1.答案　(－∞，－1)∪(0,1)13．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1