向量与空间解析几何.ppt

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1、10.3平面与直线设M0(x0,y0,z0)为空间的一定点,M0MxyzO10.3.1平面A.平面方程由几何知识知到:过空间的一定点,能够唯一地作出一平面与一已知直线L垂直.则平面上点的坐标应满足什么方程?1设M(x,y,z)为空间的任意一点,M0MxyzO则M(x,y,z)在平面上2例1.求过点解:由平面的点法式方程得:3反之,可由平面的一般式方程改写为点法式方程.由4例2.求过不共线的三个点P(1,2,1),Q(2,3,1),R(1,0,4)解:利用平面的点法式方程:需要有平面上的一点,及平面的法向量的平面的方程.5解法二利用平面的一般式方程:设所求平面方程为:

2、6解法三:任取平面上的点M(x,y,z),则一般地,过不共面的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3)的平面方程为:称为平面的三点式方程.7在平面的一般式方程中系数A,B,C,D取到零值与方程表示的平面之特征的关系,若8例3.求垂直于yOz坐标面,且过点P(4,0,2),Q(5,1,7)的平面方程.解:因平面垂直于yOz坐标面,即平行于x轴,又过点P(4,0,2),Q(5,1,7)9在平面的一般式方程方程可改写成:xabxzcO中,若ABCD0,10例4.画出下列平面的草图解:B(0,1,1)xyzOA(1,0,1)yxzO3

3、4xyzO3xyzO11B.两平面交角设平面1212两平面1,2垂直的充要条件是:两平面1,2平行的充要条件是:两平面1,2重合的充要条件是:13C.点到平面的距离及平面外一点M1ONM0xzy14例5.求两平面解:两平面的角平分面上的任一点M(x,y,z)到平面的距离相等,故有:的角平分面方程。15例6.平面的法向量也可取单位向量:由此可写出平面方程:证明:OxyzM0M11610.3.2直线A.直线空间常速度向量运动下的轨迹zxyOLM0M求质点的轨迹方程.称为直线的向量式方程.17或写成:称为直线的点向式(标准式,对称式)方程.称为直线的参数方程.

4、又可写成:18例1.解:先求过点M0,且垂直于平面的直线L的方程,19d=对称点M的坐标:20B.直线---空间两平面的交线任何将平面的一般式方程改写成点向式方程？即可写出直线的点向式方程.21例2.解:22作业P149A.4(2),(4),(9);6;7(2);11(1);12(3);2310.3.3几个有关直线和平面的问题A.两直线共面问题若两直线平行或相交,则称两直线共面,否则称为两直线异面.24例3.求两平行直线解:所确定的平面.25B.两直线之间的夹角两直线间的夹角可用两直线方向向量之间的夹角来度量,26C.两异面直线的距离设L1,L2为异面直线,如何求L1,L2

5、的距离?L1L2QPM1M227例4.证明两直线:解:为异面直线,并求两直线间的距离.28解法二设P,Q的坐标分别为:29C.平面束的平面有无穷多个,可表示成:称为过直线L的平面束方程.也是过直线L的平面束方程.30例5.解:先求过直线L0且垂直于平面0的平面1,过直线L0的平面束方程为:PQP'Q'L0L0131解得:所求投影直线L方程为:PQP'Q'L0L032例6.在过直线解:设平面束方程:的平面中,分别求出满足下列各条件的平面方程.33所求平面为:所求平面为:34(4)解:35D.直线与平面的夹角设给定直线为:LL36