《简并微扰理论》PPT课件.ppt

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1、第六章近似方法（一）简并微扰理论（二）实例（三）讨论§3简并微扰理论假设En(0)是简并的，那末属于H(0)的本征值En(0)有k个归一化本征函数：

2、n1>,

3、n2>,......,

4、nk>

5、n>=满足本征方程：于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的0级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取0级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。0级近似波函数肯定应从这k个

6、n>中挑选，而它应满足上节按幂次分类得到的方程：共轭方程（一）简并微扰理论

7、ψn(0)>已是正交归一化系数

8、c由一次幂方程定出左乘

9、得：得：上式是以展开系数c为未知数的齐次线性方程组，它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即根据这个条件，我们选取0级近似波函数

10、ψn(0)>的最好方法是将其表示成k个

11、nk>的线性组合，因为反正0级近似波函数要在

12、nk>(=1,2,...,k)中挑选。解此久期方程可得能量的一级修正En(1)的k个根：En(1),=1,2,...,k.因为En=En(0)+E(1)n所以，若这k个根都不相等，那末一级微扰就可以将k度简并完全消除；若En(1)有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一

13、步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。为了确定能量En所对应的0级近似波函数，可以把E(1)n之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,...,k.)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的0级近似波函数。为了能表示出c是对应与第个能量一级修正En(1)的一组系数，我们在其上加上角标而改写成c。这样一来，线性方程组就改写成：例1.氢原子一级Stark效应（1）Stark效应氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为Stark效应。我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n个能级有n2度简并。但是当

14、加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。（2）外电场下氢原子Hamilton量取外电场沿z正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场≈107伏/米，而原子内部电场≈1011伏/米，二者相差4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。（二）实例（3）H0的本征值和本征函数下面我们只讨论n=2的情况，这时简并度n2=4。属于该能级的4个简并态是：（4）求H’在各态中的矩阵元由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton量H

15、’在以上各态的矩阵元。我们碰到角积分

16、cosθ

17、Ylm>需要利用如下公式：于是:仅当Δ=±1,Δm=0时，H’的矩阵元才不为0。因此矩阵元中只有H’12,H’21不等于0。因为所以欲使上式不为0，由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件：（5）能量一级修正解得4个根：求零级近似波函数（1）当时，有；则与能级对应的零级近似波函数为：（2）当时，有，则与能级对应的零级近似波函数为：（3）当时，有，而和不同时为零，则与能级对应的零级近似波函数为：相当于一电偶极矩位于电场中电矩平行于外电场电矩反平行于外电场电矩垂直于外电

18、场zyzy定性解释：2．氢原子电偶极矩特性1.当与方向相反，，，，即是3.当与相互垂直，，，，即是或2.当与方向相同，，，，即是例2.有一粒子，其Hamilton量的矩阵形式为：H=H0+H’，其中求能级的一级近似和波函数的0级近似。解：H0的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。解得：E(1)=0,±α.记为：E1(1)=-αE2(1)=0E3(1)=+α故能级一级近似：简并完全消除(1)求本征能量由久期方程

19、H’-E(1)I

20、=0得：(2)求解0级近似波函数将E1(1)=–α代入方程，得：由归一化条件：则将E2(1)=0

21、代入方程，得：则由归一化条件：测验题1、非简并微扰论能实际应用的条件是什么？并说明其物理意义。对于连续谱的情况，收敛性条件是否满足？为什么？此条件能否适用于简并情况？2、从数学的角度，怎么定义一个体系是微扰的还是非微扰的？3、在定态微扰论中，为什么要分为非简并和简并两类问题讨论？试从物理图像和数学适用条件说明之。4、有人说：“近似计算方法本身应归于数学中，它并不包含在量子力学的物理体系中，微扰论仅仅是数学上的技巧处理技巧”，你如何理解？5、经典物理中我们有没有用到微扰论？试简单说明之。作业讨论氢原子的相对论修正。