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1、近世代数第三章环与域§1环的定义与性质7/21/202111:22一、环的定义定义1设是一个非空集合.上定义了两个代数运算“+”与“.”关于加法构成一个交换群（加群）；(3)乘法对加法两个分配律成立：则称为环,或简称为环.(分别称为加法与乘法),并且满足如果在(1)(2)乘法结合律成立：7/21/202111:22说明：是一个交换群.其加法单位元常用0表示,称为环的零元.设的加法逆元称为的负元.的零元与的每个元素的负元都是,记作唯一的.7/21/202111:22定义2如果环的乘法还满足交换律,为交换环.中存在元素,使得则称为有单位元的环,并称为的定义3如果环单位元.则称所有R的逆
2、元关于乘法作成群，称为R的单位群。7/21/202111:22定理1设是一个环,如果有单位元,则单位元是唯一的.的单位元常记作.a有逆元，则a的逆元也是唯一的。记作：7/21/202111:22例17/21/202111:22例2整数集关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环.这个环的零元是数0,单位元是数1.这个环称为整数环.同样,有理数集,实数集,复数集关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环7/21/202111:22例37/21/202111:22例57/21/202111:227/21/202111:22例67/21/202111:22例77/21/202111:22二、环的
3、性质性质1.规定减法:，则有移项法则:7/21/202111:22性质2.规定倍数:设,规定则有倍数法则:对任意7/21/202111:22性质3.设为环,则对,有7/21/202111:22性质4.规定方幂:设,规定,则有下列指数法则:注意:如果环不是交换环,则等式一般不成立.7/21/202111:22性质5.广义分配律:设,则7/21/202111:22三、子环定义4若环的非空子集关于环的加法与乘法也做成环，称为的子环定理2，记作例7/21/202111:22例87/21/202111:22例97/21/202111:22例107/21/202111:227/21/20211
4、1:22例117/21/202111:22例127/21/202111:22例数域上的全体阶方阵的集合关于矩阵的加法与乘法上的它的零元为零矩阵,单位元为单位矩阵.构成环.这个环称为数域阶全阵环.当时,这是一个非交换环,7/21/202111:22四、特殊类型的环1.无零因子环为环,为的非零元素.，使，则称的一个左零因子；，使，则称的一个右零因子.定义5设如果存在非零元为如果存在非零元为左零因子与右零因子统称为零因子.不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正则元.7/21/202111:22例设都是的非零元,而,所以分别为的左右零因子.7/21/202111:22例7/21/2021
5、11:22例7/21/202111:22定义6一个没有零因子的环称为无零因子环.定理3无零因子环中,关于乘法,如果或,则两个消去律成立.即设7/21/202111:222.整环定义7一个交换的,有单位元且的无零因子环称为整环.例整数环,高斯整环而偶数环为都是整环,无零因子环.7/21/202111:22例7/21/202111:227/21/202111:223.除环和域定义8设为有单位元的环,,如果存在,使得,则称为的可逆元,并称为的逆元.可逆,则的逆元唯一,且的逆元也可逆.可逆元的唯一的,且若逆元记作7/21/202111:22例的可逆元仅有1,-1;由于没有单位元,所以它没有
6、可逆元.可逆当且仅当例试求高斯整环例解的可逆元.7/21/202111:22定义9设是有单位元的环,且.如果中每个非零元都可逆,则称为除环.交换的除环称为域.例都是域.7/21/202111:22例7/21/202111:22例7/21/202111:22例为域.是有单位元的交换环.的每个非零元都可逆.证明证明可证下证,7/21/202111:22域的除法设为域,则对任意的,有，记作由此可定义域的"除法":设,规定,称为以除的商.7/21/202111:22且有下列运算法则:7/21/202111:227/21/202111:227/21/202111:227/21/202111:
7、22
