《函数的定义与性质》PPT课件

《《函数的定义与性质》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、4.6函数的定义与性质函数的定义函数定义从A到B的函数函数的像函数的性质函数的单射、满射、双射性构造双射函数1函数定义定义设F为二元关系,若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立,则称F为函数.对于函数F,如果有xFy,则记作y=F(x),并称y为F在x的函数值.例1F1={,,}F2={,}F1是函数,F2不是函数2函数相等定义设F,G为函数,则F=GFG∧GF如果两个函数F和G相等,一定满足下面两个条件：(1)domF=domG(2)x∈domF

2、=domG都有F(x)=G(x)实例函数F(x)=(x21)/(x+1),G(x)=x1不相等,因为domFdomG.3从A到B的函数定义设A,B为集合,如果f为函数domf=AranfB,则称f为从A到B的函数,记作f：A→B.实例f：N→N,f(x)=2x是从N到N的函数g：N→N,g(x)=2也是从N到N的函数4B上A定义所有从A到B的函数的集合记作BA,读作“B上A”，符号化表示为BA={f

3、f：A→B}计数：

4、A

5、=m,

6、B

7、=n,且m,n>0,

8、BA

9、=nm.A=,则BA=B={}.A≠且B=,则BA=A=.5

10、实例例2设A={1,2,3},B={a,b},求BA.解BA={f0,f1,…,f7},其中f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>},f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>},f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}6函数的像定义设函数f：A→B,A1A.A1在f下的像：f(A1)={f(x)

11、x∈A1

12、}函数的像f(A)=ranf注意：函数值f(x)∈B,而像f(A1)B.例3设f：N→N,且令A={0,1},B={2},那么有f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}7函数的性质定义设f：A→B,（1）若ranf=B,则称f：A→B是满射的.（2）若任意x1，x2A而且不相等，都有f(x1)与f(x2)不相等,则称f：A→B是单射的.（3）若f：A→B既是满射又是单射的,则称f：A→B是双射的（一一到上的）f满射意味着：yB,都存在x使得f(x)=y.f单射意味着：f(x1)=f(x2)x1=x28实例例4

13、判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?(1)f：R→R,f(x)=x2+2x1(2)f：Z+→R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f：R→Z,f(x)=x(4)f：R→R,f(x)=2x+1(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中R+为正实数集.9解(1)f：R→R,f(x)=x2+2x1在x=1取得极大值0.既不单射也不满射.(2)f：Z+→R,f(x)=lnx单调上升,是单射.但不满射,ranf={ln1,ln2,…}.(3)f：R→Z,f(x)=x满射,但不单射,例如f(1.5)=f(1.2)=1.

14、(4)f：R→R,f(x)=2x+1满射、单射、双射,因为它是单调的并且ranf=R.(5)f：R+→R+,f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2.该函数既不单射也不满射.实例（续）10构造从A到B的双射函数有穷集之间的构造例5A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}解A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={f0,f1,…,f7},其中f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>},f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},f2={<1,0>,<2,1>,<3

15、,0>},f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>},f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>},f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.令f：A→B,f()=f0,f({1})=f1,f({2})=f2,f({3})=f3,f({1,2})=f4,f({1,3})=f5,f({2,3})=f6,f({1,2,3})=f711实数区间之间构造双射构造方法：直线方程例6A=[0,1]B=[1/4,1/2]构造双射f:A→B构造从A到B的双射函

16、数（续）解令f：[0,1]→[1/4,1/2]f(x)=(x+1)