《微商及解析函数》PPT课件.ppt

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1、WuhanUniversity§1.3微商及解析函数1.3微商及解析函数f′(z)=limlim0Δz=lim=lim=limz0ΔfΔz→ΔxΔz→0ΔzΔz→0Δz→0ReΔzΔzRe(z+Δz)−RezΔz1.3微商及解析函数一、微商及微分:而在复变函数中:ΔfΔz→0Δze.gf(z)=Rez注意:(2)可导必然连续,反之则未必;如f(z)=Rez=x在“复平面”中处处连续,但却处处不可导。(3)可导与连续不同,由实部与虚部在某一点连续,可以断定复变函数连续,但是由实部与虚部在某点可导,并不能判断函数可导;e.gf(z)=Rez1.3微商及解析函数一、微商及微分:WuhanUni

2、versity记1.3微商及解析函数一、微商及微分:2.微分dw=f′(z)dz[ordf=f′(z)dz]-微分则)dfdzdwdz(=f′(z)=-微商w=f(z)若pn(z)=a0+a1z+a2z+LanzLLWuhanUniversityn2e.g→p′n(z)=a1+2a2z+L+nanzn−11.3微商及解析函数一、微商及微分:3.求导、微分法则:实函中求导、微分法则在此皆实用。[f1(z)±f2(z)]′=f1′(z)±f2′(z)[f1(z)⋅f2(z)]′=f1′(z)⋅f2(z)+f1(z)⋅f2′(z)1.3微商及解析函数一、微商及微分:4.可导的必要条件注意:(1

3、)C-R条件只是可导的必要条件,不是充分条件(2)C-R条件的极坐标形式为:1.3微商及解析函数一、微商及微分:1.3微商及解析函数一、微商及微分:问:(1)可否用这四个公式来判断函数是否可导?(2)可否用求导公式判断函数是否存在?1.3微商及解析函数一、微商及微分:注:由C-R条件可得:f(z)∈H(σ)引入记号-表示f(z)在区域σ内解析。1.3微商及解析函数二、解析函数:1.定义:若w=f(z)在z0点及N(z0,ε)可导,则称w=f(z)在z0点解析。若w=f(z)在区域σ内处处可导,则称w=f(z)在区域σ内解析。(注:1)凡说解析都是指在某点或某区域解析(2)函数在某点解析是

4、比在某点可导严格得多的条件,两者并不等价。(3)f(z)在区域σ内解析和可导是完全等价的。(4)f(z)的不解析之点称为奇点。(5)解析函数又称为正则函数或全纯函数。1.3微商及解析函数e.g.f(z)=z,在z=0点可导却不解析。二、解析函数:证明:f(z)=e(cosy+isiny)在复平面2.必要条件:由解析定义和可导必要条件可得:…3.充分条件:由解析定义和可导充分条件可得:…1.3微商及解析函数二、解析函数:x解析,且f′(z)=f(z).例若f(z)=u+iv∈H(σ)1.3微商及解析函数二、解析函数:4.解析函数的部分性质=0,Δv=0则(1)Δu且由C-R连系着(2)∇u

5、⋅∇v=0(3)已知u或v均可求出解析函数(4)解析函数的和、差、积、商仍为解析函数dy=dx−dy∂v∂xdx−∂v∂ydy=∂u∂ydx+∂u∂xdu=u=∫d(x−y)+c=x−y+c例已知v(x,y)=x+y,求解析函数f(z)=u+iv(1)用全微分法(2)用积分微分求1.3微商及解析函数二、解析函数:1.3微商及解析函数二、解析函数:∂x∂y5.解析函数的物理解释:以平面静电场为例(也适合于其他标量场):电势ψ(x,y)在平面的无源即无电荷区域满足二维拉氏方程=0+∂2ψ2∂2ψ2Δψ=则由解析函数的性质,可由一解析函数f(z)=u+iv来描绘该电场称为复势。WuhanUni

6、versity1.3微商及解析函数二、解析函数:解析函数图例1.3微商及解析函数1.3微商及解析函数1.3微商及解析函数f′(z)=lim{小结一、微商及微分:ΔfΔz→0Δz1、微商:2、微分:dw=f′(z)dz∂v∂y∂u∂y==−∂u∂x∂v∂x3、求导、微分法则:4.可导的必要条件5.可导的充分条件:⎩C-R条件1.3微商及解析函数小结⎩1.3微商及解析函数小结二、解析函数:1.定义:2.必要条件:3.充分条件:4、解析函数的部分性质若f(z)=u+iv∈H(σ)则(1)Δu=0,Δv=0且由C-R连系着(2)∇u⋅∇v=0(3)已知U(或V)均可求出解析函数1.3微商及解析函

7、数本节作业习题1.3:2(2);4(3);1.3微商及解析函数

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