《微商的应用》PPT课件

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1、第3章微商的应用重点：求极值难点：证明等式或不等式微商的应用3.1微分中值定理3.1.1函数的极值与费马(Fermat)引理函数极值的直观描述如图.费马(Fermat)引理f(x)≥f(x0).费马引理的几何意义若曲线y=f(x)在极值点处可微,则此曲线在该极值点处必有一条水平切线.对可微函数而言,极值点一定是驻点,但反过来,函数的驻点却不一定是极值点.综上所述,函数的极值点是它的驻点或微商不存在的点.3.1.2微分中值定理罗尔定理的几何意义是,在所给的条件下,曲线y=f(x)至少有一条水平切线.注意：罗尔定理的三个条件是结论成立的充分条件.三个条

2、件缺任意一个条件,定理的结论可能不成立.确定方程根所在的区间函数构造方法练习试证4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一个根.拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理的几何意义是,在所给的条件下,曲线y=f(x)至少有一条切线平行于联结曲线端点的弦.双未知数不等式拉格朗日中值定理主要用来证明双未知数不等式.此时,结论中应含有如下形式,或者变形后含有如下形式有些单未知数不等式虽然也可用拉格朗日中值定理来证明，但变形技巧难于掌握,更好的方法我们在下一节里介绍.练习有限增量公式从而这就是有限增量公式.证明恒等式由拉格朗日中

3、值定理可得3.1.3微分中值定理的证明罗尔定理的证明在闭区间[a,b]上连续的函数一定存在最大值和最小值.下面分两种情况加以证明.⑴最大值与最小值相等.函数f(x)在[a,b]上恒为常数，常数的微商等于零,则罗尔定理的结论成立.拉格朗日中值定理的证明3.2用微商研究函数3.2.1函数单调性的判别法练习求下列各函数的单调区间.驻点或微商不存在的点,都可用来划分函数的单调区间.单调性证明不等式⑴从而单调性证明不等式⑵证将原不等式变形为3.2.2函数极值的检验法取得极值的充分条件⑴证明(P126)取得极值的充分条件⑵证明(P128)3.2.3曲线的凸性与

4、拐点拐点(c,f(c))拐点的必要条件由题设知a+b=2,6a+2b=0,解之得a=1,b=3.拐点的充分条件注意：二阶微商不存在的点，其曲线上对应的点有可能是拐点,如(0,0)是曲线y=x1/3的拐点.练习求曲线y=3x55x4+4的拐点.3.2.4函数作图例作函数y=xex的图形.解⑴函数的定义域是(∞,∞).⑵求y',y'',并列表y=xex(∞,∞)⑶渐近线函数作图⑶渐近线y=0⑷作图关键点y(0)=03.3最优化问题3.3.1最大值、最小值假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)至多有有限个驻点和微商不存在的点.注

5、意：对于实际应用问题而言,若求得唯一驻点,该驻点就是最值点.3.3.2最优化问题最优化问题,就是建立一个目标函数,再利用微商来求其最大值或最小值.解设每亩多种x株,则总产量为f(x)=(50+x)(75x),0≤x≤20.问题归结为求目标函数f(x)在[0,20]上的最大值.根据实际问题,x应取整数.f(12)=3906f(13)=3906每亩种62株葡萄藤时,产量达到最高3906kg.3.4相对变化率与相关变化率3.4.1边际与边际分析(P143-146)了解经济学中的边际概念：3.4.2弹性与弹性分析设需求函数D(x)是价格x的可微函数,则称

6、非负实数为需求函数D(x)的弹性,即需求弹性.需求弹性分析例设某产品的需求函数为Q(p)=75p2,p为价格.求p=4时的边际需求与需求弹性,并说明其经济意义.其经济意义是,当价格从p=4上涨到p=5时,需求量会减少8个单位.其经济意义：需求变动的幅度小于价格变动的幅度.收益弹性分析例设某产品的需求函数为Q(p)=75p2,p为价格.当p=4,6时,若价格p上涨1%,总收益将变化百分之几？p为多少时,总收益最大？因此,当p=4时,价格p上涨1%,总收益将增加0.46%；当p=6时,总收益将减少0.85%.因此,当p=5时,总收益最大.3.4.3

7、相关变化率如果变量y与变量x之间的关系由方程f(x,y)=0所确定,则将变量x,y都当作变量t的函数,方程f(x,y)=0两边对变量t求微商.练习(P150例6)3.5洛必达(L’Hospital)法则3.5.1洛必达法则洛必达法则应用举例⑴⑵⑶运用洛必达法则比第1章的方法简单.对⑷⑸⑹的结果要有一个印象,即xsinx,tanxx,xarctanx都与x3是x→0时的同阶无穷小.⑺⑻说明x→∞时指数函数远远快于幂函数,幂函数远远快于对数函数.洛必达法则注意事项⑴在应用洛必达法则前,首先要检验条件是否满足.⑵洛必达法则可以连续使用.⑷洛必达法则

8、完全失效的例子.3.5.2洛必达法则的证明柯西(Cauchy)中值定理若函数f(x),g(x)⑴在闭区间[a,b]上连续，