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1、05 三角函数的图象与性质1.已知角α的终边经过点P(-5,-12),则sin3π2+α的值等于( ).A.-513 B.-1213 C.513 D.1213 解析▶ 因为角α的终边经过点P(-5,-12),由三角函数的定义可知cosα=xr=-5(-5)2+(-12)2=-513,所以sin3π2+α=-cosα=513. 答案▶ C2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),满足f(x1)=-1,f(x2)=0,且
2、x1-x2
3、的最小值为π4,则ω=( ).A.2B.1C.12D.4 解析▶ 由题意可知
4、x1-x2
5、的最小值为T4
6、,所以T=π4×4=π,所以ω=2ππ=2,故选A. 答案▶ A3.将函数y=cos3x的图象向左平移π4个单位长度,所得图象对应的函数解析式是( ).A.y=cos3x+π4B.y=cos3x-π4C.y=cos3x-3π4D.y=cos3x+3π4 解析▶ 由函数图象的平移规则可知y=cos3x的图象向左平移π4个单位长度得到y=cos3x+π4的图象,即所求函数解析式是y=cos3x+3π4,故选D. 答案▶ D4.给出下列结论:①函数y=sin(kπ-x)(k∈Z)为奇函数;②函数y=tan2x+π6的图象关于点π12,0对称;③函数y=cos2x
7、+π3的图象的一条对称轴为直线x=-2π3;④若tan(π-x)=2,则sin2x=15.其中正确结论的序号为 . 解析▶ y=sin(kπ-x)=(-1)k-1sinx是奇函数,故①正确;tan2×π12+π6=3,故②不正确;cos2×-2π3+π3=-1,故③正确;tan(π-x)=-tanx=2,tanx=-2,sin2x=sin2xsin2x+cos2x=tan2xtan2x+1=45,故④不正确.综上,正确结论的序号为①③. 答案▶ ①③能力1▶ 能运用三角函数的图象和性质解决问题 【例1】 已知函数f(x)=23sinxcosx+2c
8、os2x+m-1在0,π2上的最小值为-2.(1)求m的值及f(x)图象的对称轴;(2)求f(x)的单调递增区间. 解析▶ (1)由已知得f(x)=3sin2x+cos2x+m=2sin2x+π6+m.∵0≤x≤π2,∴π6≤2x+π6≤7π6,∴当2x+π6=7π6,即x=π2时,f(x)min=2×-12+m=-2,∴m=-1,此时f(x)=2sin2x+π6-1.由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),解得x=kπ2+π6(k∈Z),∴f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+π6(k∈Z).(2)由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z),可得-π3+
9、kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z),∴f(x)的单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ(k∈Z).有关函数y=Asin(ωx+φ)+B的性质及应用问题的求解思路:第一步,先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;第二步,把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求解y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.已知函数f(x)=sin2x+π3,则下列结论正确的是( ).A.f(x)的图象关于直线x=π3对称B.f(x)的图象关于点π4,0对称C.把f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到一个偶函
10、数的图象D.f(x)的最小正周期为π,且在0,π6上为增函数 解析▶ 把x=π3代入函数f(x)的解析式得fπ3=sinπ=0,故A不正确;把x=π4代入函数f(x)的解析式得fπ4=sinπ2+π3=cosπ3=12≠0,故B不正确;函数f(x)=sin2x+π3的图象向左平移π12个单位长度,得到g(x)=sin2x+π12+π3=sin2x+π6+π3=cos2x的图象,g(x)是偶函数,故C正确;由题意知函数f(x)的最小正周期为π,令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),所以函数f(x)的单调
11、递增区间为kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z).令k=0,得-5π12≤x≤π12,令k=1,得7π12≤x≤13π12,所以函数f(x)在0,π6上为增函数是错误的,故D不正确.故选C. 答案▶ C能力2▶ 会根据三角函数的图象求其解析式 【例2】 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为( ).A.y=2sin2x-π6B.y=2sin2x-π3 C.y=2sin2x+π6D.y=2sin2x+π3 解析▶ (法一)由图象知T2=π3--π6=π2,故T=π,因此ω=2ππ=2.又图象的一个最高点的坐标
12、为π3,2
