2018_2019学年高中数学三空间向量与立体几何课后训练巩固提升新人教A版.docx

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1、三空间向量与立体几何[A　基础达标]1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝(　　)A．(0，34，10)　　　　　　　　B．(－3，19，7)C．44D.23解析：选C.a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44.2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，＋＋－等于(　　)A.B.C.D.解析：选A.＋＋－＝＋＝.3.如图所示，在几何体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且A

2、B＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为　　(　　)A.B.C．2D.解析：选B.＝＋＋，因为

3、

4、＝

5、

6、＝1＝

7、

8、，且·＝·＝·＝0.又因为2＝(＋＋)2，所以2＝3，所以AE的长为.故选B.4.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是(　　)A．90°B．60°C．45°D.30°解析：选B.将题中图补成正方体ABCDPQRS，如图，连接SC，AS，则PB∥SC，所以∠ACS(或其补角)是PB与AC所成的角．因为△ACS为正三角形，所以∠AC

9、S＝60°，所以PB与AC所成的角是60°，故选B.5．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为AA1上一点．若二面角B1DCC1的大小为60°，则AD的长为(　　)A.　　　　B.C．2　　　　D.解析：选A.如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，B1(0，2，2)．设AD＝a，则点D的坐标为(1，0，a)，＝(1，0，a)，＝(0，2，2)．设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)

10、，则⇒，令z＝－1，得m＝(a，1，－1)．又平面C1DC的一个法向量为(0，1，0)，记为n，则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.故选A.6．已知平行六面体OABCO′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则＝________．解析：＝－＝(＋)－＝a＋c－b.答案：a＋c－b7．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为________．解析：y轴的一个方向向量s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故

11、其所成的角的大小是.答案：8．直角三角形ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，)，所以＝(－4，3，0)，＝.所以在上的投影为＝，所以点P到斜边AB的距离d＝＝＝3.答案：39.如图，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求异面直线DP与CC′所成角的大

12、小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．解：如图，以D为坐标原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则＝(1，0，0)，＝(0，0，1)．连接BD，B′D′，在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于点H.设＝(m，m，1)(m>0)，由〈，〉＝60°及·＝

13、

14、

15、

16、cos〈，〉，可得2m＝，解得m＝，所以＝.(1)因为cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝45°，即异面直线DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0，1，0)．因为cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°，即DP

17、与平面AA′D′D所成的角为30°.10．(2018·武汉高二检测)在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求二面角EBCA的余弦值．解：(1)证明：由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC的中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC.又平面ACD⊥平面ABC，所以DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么

18、EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，因为BE和平面ABC所成的角为60°，所以∠EBF＝60°，因为BE＝2，所以EF＝DO＝，所以四边形DEFO是平行四边形，所以DE∥OF.因为DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0，，0)，C(－1，0，0)，E(0，－1，)，所以＝(－1，－，0)，＝(0，－1，)，平面A