运用“轴对称”解决最短路径问题.pdf

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1、CHUZHoNGSHENGSHlJlE运用“轴对称’’解决最短路径问题刘军在学习“轴对称图形”时，我们经常会枞Q+QB与AP+PB的大小，并说明理由．遇到与最短路径有关的问题，同学们往往【解析】(1)由点与点关于直线z成在处理这类问题时感到困难．这类问题通轴对称可知PB=PB，则A日=AP+PB=AP+常会转化成“两点之间，线段最短”来解决，PB．(2)利用“三角形任意两边之和大于而轴对称的性质是实现这一转化的有效第三边”及(1)的结论可知，AQ+QB>AB=方法之一．只要我们能把握轴对称的性AP+船．。质，那么问题便迎刃而解．这个问题还可以进一步说明直线Z上在苏科版八(上)“轴对称图形”

2、一章的的点Pl；宦使得线段PA+PB的和最小．课后习题中就有这下面再通过对几个最短路径问题的分样一个问题：如图1，析，帮助同学们熟悉并掌握这类问题的解点A、曰在直线Z同题策略，真正能做到融会贯通，一通百通．侧，点是点关于一、已知两点在一条直线的同一侧Z的对称点，AB交Z图1例1(将军饮马)古希腊一位将军要于点(1)AB与AP+PB相等吗?为什么?地出发到河边(如下图删)去饮马，然(2)在Z上再取一AQ，并连接AQ和QB，比后再回到驻地．问怎样选择饮马地点P，点A关于Z的对称国道、OB的距离相等，到G厂、D厂的距点，本题就是要使离也相等，请在图中画出货站P的位置．AP与船的和最小．(要求：用

3、圆规直尺作图，保留作图痕迹，不显然当A、P、A三点写已知、求作和作法)在同一直线上时，图5【分析】根据货站P至U两条国道OA、OBAP一与船的和最小．因此，线黝B与直线z的距离相等，可知货站e4-z厶4OB的角平分的交点P的位置即为所求．线上；根据货站P到C厂、D厂的距离也相解：作点A关于Z的对称点4，连接4曰等，可知货站P在交Z于点P，则点P即为所求．线段CD的垂直平例4如图6，两分线上．因此，分条国道OA、OB在我别作出AOB的市交汇于点O，在平分线以及CD的DB的内部C、D垂直平分线，交点即是P点的位置．图7处各有一个工厂．D现要修建一个货站B解：如图7，点P即为所求．图6P，使货站

4、P到两条(作者单位：江苏省无锡市天一实验学校)60Tnte⋯gentmathematics1■慧数掌点Pl、P2，P1P2分别交OA、OB于点E、F，由轴路一恫对称的性质可知：PE=P1E，=P2F，即得△咫F的周长等于P1P2，此时APEF的周长最小．；／三、已知两点在两条相交直线的内部图2图3例3某中学八(1)班的班会课上，桌【解析】先确定点A或点B中一个点关子摆成如图8所示两直排(图中的OA、OB)，于直线MN的对称点，然后连接对称点和另OA桌面上摆满了苹果，OB桌面上摆满了糖一个点，与直线MN的交点P且f】为所求的点．果，站在c处的学生小明先拿苹果再拿糖【变式训练】已知果，然后到D

5、处座位上，请你帮助他设计一点P、Q是AABC的边条行走路线，使其所走的总路程最短．ClAB、AC上的点，你能在h、BC上确定一点R。使△PQ的周长最短吗?图4【点拨】APQR的周长等于PQ+PR+QR，因为Pp的长度不变，所以只要线f~t．PR+QR的和最小，就能使△R的周长最短．图8图9=、已知一点在两条相交直线的内部例2如图5，OA、OB是两条相交的公【解析】如图9，作C点关于OA的对称路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各点C，作D点关于OB的对称点D；连接CD，，设立一个投递点，要想使邮递员每次投递分别交OA、OB于点P、Q，则由轴对称的性路程最近，问投递点应设在何处?质得：C

6、P+PQ+QD=C1P+PQ+QDl=C1D1．故0D小明沿c_+Q—的路线行走，所走的总路程最短．【变式训练】已知／MON内两点A、B，请}P、B图6你在OM、0N上分别找【解析】如图6，点P1、P2分别是点联于一点C、D，使得AC+CD+DⅣ直线OA、OB的对称点．由轴对称的性质可BD+A最短．图10知：PM=P~M，PN=P2N，因此邮递员每次投【点拨】分别作点A、日关于OM、ON的递的路程就等于P+删+P2Ⅳ=P】1"2，所以对称点A、B，连接A，分别交伽、ON于当投递点分别设立在OA、OB上点、Ⅳ处点c、D，即得点C、D就是所求的两点．时，邮递员每次投递路程最近．利用“轴对称”解

7、决最短路径问题的关【变式训练】如图7，／键是根据轴对称的性质，将不在一条直线的已知OB内有一点P，／．p线段转化到同一条直线上，然后用“两点之试分别在边OA和OB上／间，线段最短”来解决．解决这类问题，还需各找一点E、使得APEF．—————__：要认真审题，不仅要注意图形，而且要重视的周长最小，不需说明理由．图7问题的要求，才能够有效地解决此类问题．【点拨】分别作点联于OA、OB的对称(作者单位：江苏省无锡市天一实验学