左α-半交换环及其扩张.pdf

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1、第32卷第1期广西师范大学学报：自然科学版Vol_32No．12014年3月JournalofGuangxiNormalUniversity：NaturalScienceEditionMar．2014左一半交换环及其扩张沈青，王尧(南京信息工程大学数学与统计学院，江苏南京210044)摘要：本文通过引入左半交换环推广半交换环的概念。设a是环R的一个非零自同态，称R是一个左a一半交换环，如果对任何a，bER，由ab=0可以推出a(n)R6—0。本文讨论左半交换环与相关环的关系，给出左半交换环的一些扩张性质

2、，证明了：①环R是a—rigid环当且仅当R是约化的左a一半交换环，且是单同态；②如果R是约化的左一半交换环，则R[]／<>是左半交换环，其中(>是由生成的理想，”为任何正整数。关键词：半交换环；左半交换环；a-rigid环；多项式扩张中图分类号：X171．4文献标识码：A文章编号：1001—6600(2014)01—0057-070引言本文假定R是有单位元的结合环。除特别说明外，a总表示给定环R的非零自同态。一个环R称为约化环，如果它没有非零的幂零元。一个环R称为可逆环[1]，如果对任意a，bER，由

3、ab==：0可以推出=：=0。一个环R称为对称环[2]，如果对任何a，b，cER，由abc：==0可以推出acb一0。一个环R称为半交换环l_3]，如果对任何n，6ER，由ab=0可以推出aRb=0。半交换环也被称为ZI环¨4]。设a是环R的一个自同态，Baser—Hong—Kwak[5]称一个环R是右(左)co可逆环，如果对任意a，bER，由ab一0可以推出(0)一0(a(6)口一0)。最近，Baser—Harmancia—KwakE称一个环R是a一半交换环，如果对任意a，bER，由ab=0可以推出a

4、Ra(b)一0。在本文中，我们将推广半交换环的概念，引入左旷半交换环的概念，它是不同于口一半交换环的另一类环。我们还将讨论旷半交换环与相关环的关系，研究它们的一些扩张性质。1左a一半交换环与相关环定义1设a是环R的一个非零自同态，如果R满足条件：对任何a，bER，由ab=0可以推出a(a)Rb一0，则称环R是一个左a一半交换环。易见，当a—Id(R的恒等自同态)时，左旷半交换环就是半交换环。对于左旷半交换环R的每个a一子环S，即满足条件a(S)KS的子环，S也是左a一半交换环。下面分别给出是半交换但不是

5、左a一半交换环和是左a一半交换环但不是a一半交换环的例子，说明左半交换环和a一半交换环是各自独立的概念，它们是不同的环类。例1令z表示整数环，考虑环R一{(：la,b,c∈z}和R的自同态a：R--~R，a(：)一(：)。对A一／o：]，B—f苫2]ER,如果AB一。，则有[1][]一(。62+b)一。，故有收稿日期：2013-06—18基金项目：国家自然科学基金资助项目(1l101217)通信联系人：王尧(1962一)，男，黑龙江海伦人，南京信息工程大学教授，博士。E—mail：wangyao@nui

6、st．edu．cn58广西师范大学学报：自然科学版第32卷。n===。，于是有“=。或n：。。对任何c—f3]ER,有AB一(][(：)一0，故aRa(B)一0，即R是a一半交换环。取A一(一(：一1)(-1)此时有仙一o，A邙一(-1)(：)一(：)≠。，故R不是左一半交换环。例2考虑环R一(()-n，6，c∈z}和尺的自同态：R—R，a(：)===(：)。设A—f；l，B—j【06Cz】i∈RB_AB=O,则有CIC2=0,于是有c一。或r一。。对任何c一{【‰0C3J}∈R，有a(A)cB一(：)

7、【()-o，A衄一。，是如半交换环。取A：=：(-。1)，B一(：)，c一()∈R，有AR=o,{EAcB，一(-。1)()(：：)一(：i)≠。，故R不是a一半交换环。rigid环是近年来讨论比较多的一类环。一个环R称为a—rigid环，如果对任意rER，由ra(，一)一0可以推出r一0。下面的定理给出了a-rigid环的一个特征。定理1环R是—rigid环当且仅当R是约化的左口一半交换环，且a是单IN态。证明设R是a—rigid环，则由文献[7]ThoremeA知R是约化环，且a是单lal态。假~R

8、x,fa，6∈R有ab一0，则(ba)一0，于是ba=0。对任意rER，a(a(a)rb)a(a)rb=a(口)a(r)a(ba)rb=0。由于R是a—rigid环，故有a(n)rb=0，即有a(n)尺6—0，故R是左a一半交换环。反过来，假设R是约化的左a一半交换环，a是单IN态，如果(a)a一0，aER，由于R是约化环，则由(口a(＆))。一0可得aa(a)一0。再由R是左a一半交换环知a(a)Ra(a)一0，特别地，有a(a)a(n)