古典概型问题及其应用.pdf

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1、2014年第9期·课外拓展·涪数外一、基本的古典概型问题n)，则所求的概率是尸(ZA)，易知问题1：一次投掷两颗骰i=l子，求出现的点数之和为奇数的概率P(A)=∑P(A)=1解法1：记A=“出现点数一’之和为奇数”。若取每次试验P(AAP(AIA~)=C2所有可能的点数()(表示第古典概型一问颗骰题子出及现其i点，应第二用颗骰子出现点)为基本事件i『：=同理P(AAA)1，2⋯6，则基本事件的总数n：1≤《《n¨＼⋯，＼⋯，一·．’江苏省淮安市楚州中学徐永加6z=36，且每个基本事件的发生P(A1A2A

2、3⋯A)=÷是等可能的，因而是古典概型!问题。其中A包含的基本事件由概率的一般加法公式有数k=3x3+3x3=18，故P(A)=三111181——36一。P(A)一1--+寺一+(一1)}一1注：本题采用概率的一般加法公式，较明晰地给出了解法2：由于我们关心的问题的解答，对于匹配问题，若考虑对立事件，则问题反而是每次出现点数之和的奇偶会更复杂。性，因此，可取每次试验可能(二)用于证明一些概率不等式出现的结果为f点数之和为奇数l，{点数之和为偶数}作为基问题4：设0

3、【娶婴AJJl本事件，它们发生等可能，这样，基本事件的总数n=2，A包含的基本事件数k=l，故P(A)证明P(曰IA)：1一P(B~A)：1一：2因ABB，故尸(AB)≤P(，从而有：注：本题说明同一个问题可以取不同的样本空间来解)_1一[]决，但应注意到基本事件的发注：充分利用包含关系所隐含的下列关系，若AB，生是否等可能。则：P(A)≤P(，P(A+B)=P(，P(AB)=P(A)。这些关系问题2：设有m个人和M个房间，每个都等可能地分对解题带来很大的方便。配到间房的任一间，试求下列事件的概率：三、应

4、用乘法公式可求解的几类问题(1)A=“指定的m问房中各有1人”；乘法公式作用在于把积事件的概率转化为单个事件(2)曰=“恰有m间房间，其中各有1人”；的条件概率的乘积，特别地，独立事件积的概率等于各个(3)c=“指定的一间房中恰有t人”。事件概率的乘积。在有些问题中，直接求积事件的概率比解设想将m个人一个一个分配下去，对m个人的每较困难，但条件概率却易求出，因此乘法公式就起着化难一种可能的分法都对应一个基本事件，由乘法原理知：总为易的作用，用乘法公式，先用字母表示题中的有关事件，共有MxMxMxM⋯xM(

5、m个)；^种方法，即基本事件的总其次是分析诸事件间的关系，把欲求概率的事件表示为已数为。知事件的积(或若干积的和)，最后用乘法公式求解。(1)A发生意味着指定的m间房中每间房只能分1个乘法公式常用于求解下面三种情况的概率问题。人，故有利于A的分法相当于m个编上了号的人在这m(一)用于求用(隐含用)“同时、都”等词语表述的事件个编上了号的房间中的全排列，共有m!种，故P(A)=罢；的概率问题5：(抽签问题)n个人抽签，其中只有一张球票，(2)B与A的区别是没有指定哪m问房，而m间房的n一1张是空的，求每个人

6、抽到球票的概率取法有种，而在这每一种选定的m间房中各有1人的解设A“第个人抽到球票”(i=l，2⋯n)分配方法有m!种，由乘法原理知，有利于事件曰的分法共BF“第i次抽到球票”(1，2⋯n)．A发生意味着前k-1次都抽到空票，第k次才抽到球有m!c一：种，故P(B)=f；票，故A=曰1曰2⋯BB。(3)C发生要求某t人被分进指定的这间房，t人的取由乘法公式得第个人抽到球票的概率为：法有c：种，而其余m—t人中每个人都有可能被分到其余P(A)=P(一B：⋯一B一B)百)P(否：P(I百。：)(肌1)间房的任

7、一间，共有(肛1)种分法，故有利于事件P(一1陋～)18-B2⋯Bk一)=。’等c的分法为(肛1)州，所以P(c)=。⋯=±．：注：此问题称为分房问题，许多问题(如质点入盒问n—k+2n—k+ln注：由此可见，其结果与无关，表明无论抽签顺序如题，生日问题，信封问题等)都可以归结为分房问题，在处何，每个人抽到球票的机会相等，这说明n个人抽签，抽到理具体问题时，应分清问题中什么是人什么是房子，不可颠倒。签的机会是均等的。二、用加法公式可求解的几类问题(二)用于求多个事件和的概率对于较复杂的古典概型问题，首先将

8、题中的已知概率求n个事件A。、A：、，⋯A的和的概率虽然有加法公式，但当n较大，而诸事件相容时，直接用加法公式计算一的事件与欲求概率的事件分别用字母表示出来，其次要分析题意，弄清已知事件与欲求概率的事件之间的关系，将般是困难的，为此，我们常用对立事件的概率公式求之。欲求概率的事件用已知事件通过运算表示出来，最后根据问题6：加工某零件需要经过三道工序，设第一、二、事件的表达式选用恰当的概率运算公式求解。三道工序的次品率分别为0．