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1、解答题增分专项四 高考中的立体几何-2-从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.三视图,简单几何体的表面积与体积,点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.-3-题型一题型二题型三题型一线线、线面平行或垂直的判定与性质1.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目
2、中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明.2.要证线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,再利用线面平行的判定定理证明.3.要证线线平行,可考虑公理4或转化为线面平行.4.要证线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.题型四-4-题型一题型二题型三例1(2015湖南,理19)如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A⊥底面ABCD.点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ.
3、(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.题型四-5-题型一题型二题型三解:(方法一)由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6.题型四-6-题型一题型二题型三题型四-7-题型一题型二题型三题型四-8-题型一题型二题型三题型四-9-题型一题型二题型三题型
4、四-10-题型一题型二题型三题型四-11-题型一题型二题型三对点训练1如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为4的正方形,EF∥AD,平面ADEF⊥平面ABCD,且BC=2EF,AE=AF,点G是EF的中点.(1)证明:AG⊥平面ABCD.(2)若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为,求AG的长.(3)判断线段AC上是否存在一点M,使MG∥平面ABF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.题型四-12-题型一题型二题型三(1)证明:由AE=AF,G为EF的中点,故AG⊥EF.又EF∥AD,EF,AD⫋平面AD
5、EF,所以AG⊥AD.因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,则AG⊥平面ABCD.题型四-13-题型一题型二题型三题型四-14-题型一题型二题型三题型四-15-题型一题型二题型三题型二面面平行或垂直的判定与性质1.判定面面平行的四个方法:(1)利用定义:判断两个平面没有公共点.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面垂直的证明方法:(1)用面面垂直的判定定理,即先证明其中一个平
6、面经过另一个平面的一条垂线.(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.题型四-16-题型一题型二题型三4.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.题型四-17-题型一题型二题型三例2如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;(2)
7、若二面角P-AC-E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.题型四-18-题型一题型二题型三题型四-19-题型一题型二题型三题型四-20-题型一题型二题型三对点训练2(2015山东烟台模拟)如图①,已知矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD折起,使DB=,如图②.(1)求证:平面AOD⊥平面ABCO;(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.题型四-21-题型一题型二题型三(1)证明:在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,∴△AOD,△BOC为等腰直角三角形,∴∠
8、AOB=90°,即OB⊥OA.又DB2=3,∴DH2+BH2=DB2,∴DH⊥BH.又DH⊥OA,OA∩BH=H,∴DH⊥平面ABCO.而DH⫋平面AOD,∴平面AOD⊥平面ABCO.题型四-22-题型一题型二题型三题型四-23-题型一题型二题型三题型三平行、垂直关系及体积中的探索性问题1.对命题条件的探索三种途径:
