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1、数学基础知识与典型例题第5章平面向量平面向量相关知识关系表一、冋量的有关概念1•向量嘅有人小又有方向的量叫做向量•向量的人小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法：⑴字母表示法:如Nbd…等.⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量•如而，莎等.⑶坐标表示法:在平而直角坐逝系屮，设向量迥的起点0为在坐标原点，终点A坐标为(x,y),则(x,y)称为0A的坐标，记为O4=(x,y)・注：向量既有代数特征,又有几何特征，它是数形兼备的好工具.向量的概念及运算3•相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以H由
2、平移，平移前后的向量相等•两向量d与h相等，记为a=b.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4•零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量•单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量•任一•组共线向量都AT以移到同一直线上•规定:d与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7•相反向量：长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(-•)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积，这些运算一、冋量的
3、有关概念1•向量嘅有人小又有方向的量叫做向量•向量的人小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法：⑴字母表示法:如Nbd…等.⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量•如而，莎等.⑶坐标表示法:在平而直角坐逝系屮，设向量迥的起点0为在坐标原点，终点A坐标为(x,y),则(x,y)称为0A的坐标，记为O4=(x,y)・注：向量既有代数特征,又有几何特征，它是数形兼备的好工具.向量的概念及运算3•相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以H由平移，平移前后的向量相等•两向量d与h相等，记为a=b.注:向量不能
4、比较大小,因为方向没有大小.4•零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量•单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量•任一•组共线向量都AT以移到同一直线上•规定:d与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7•相反向量：长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(-•)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积，这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其屮向量的加减法运
5、算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算，发现它们有很好地运算性质，这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础，向量确实是一个好工具•特别是向量可以用坐标表示，且可以用坐标来运算，向量运算问题可以完全坐标化.运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法Br>>>OA+OB=OC>>>OB-OA=AB记0A=(%],yi),OB=(32)则OA+OB={x+x2,yi+)吩OB-OA=(兀2・兀1,)才)'1)OA+AB=OB实数与向量的乘积・才、A戒"AB=Xa入eR—>记a=(x,y)则Xa=(Xx,Xy)两个向量
6、的数量积—a•乙=
7、耳•冃oos(a月记0=0
8、,)[),方=(兀2』2)-》―》则a•b=xX2+yy2亥I」划每一种运算都可以有三利「表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：(二)运算律加法：①Q+乙=乙+。(交换律)；②(d+初+C=d+©+C)(结合律)向量的概念及运算实数与向量的乘积：①2(a+乙)=Qq+溜；②(2+“)。=力+/加;③2(“a)=(2“)a两个向量的数量积：①a・b=b・a;(2)(b=a•(Xb)=X(a•b);TTT->TTT(3)(a+b)•c=a•c+b•c注：根据向量运算律可知
9、，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，f―>qT2vt>_例如(a±b)〜=a±2a•b+b(三)运算性质及重要结论__⑴平面向量基本定理:如果石是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a,有且只有一对实数&,人，使。=入弓+人勺,称恥+人勺为£],勺的线性组合。%1其中a,&叫做表示这一平面内所有向量的基底；%1平面内任一向量都可以沿两个不共线向量石,&的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.③当基底石，瓦是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平而直
10、角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量的概念及运算向量坐标与点坐标的关系：半向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A（x,y）,则oX=（兀,y）；当向量起点不在原点时，向量a!坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A
