资源描述：
《数列通项公式求法的进一步思考.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数列通项公式求法的思考一递归数列通项公式的求法摘要：数列是高屮数学屮的重耍内容,求数列的通项公式就是其屮最为常见的题型2—，每年都有一个大题，既可考查等价转化与化归这一数学思想，乂能反映考生对等差与等比数列理解的深度，具有一定的技巧性，而且数列问题背景新颖,综合性强，能力要求高，思维力度大，内在联系密切，思维方法灵活,致使很多考生在数列题当中失分较多，特别是已知条件以递推形式给出的数列一一递归数列,求其通项公式就显得更加困难.木文对儿类常见的递归数列求通项问题作一•些探求，希望对大家有所启发.关键字：递归数列递推公式通项公式求法一
2、、定义：对任意的自然数n,有递推关系%=c[9a2=。2,…，①.=cratl+k=/(勺点
3、,色我2,…，£)确定的数列，其屮q,C2，・・・,c,.为初始值，r为递归数列的阶数。二、通项公式的求法类型1.若数列{%},通项公式满足递推公式：an+{=an+/(n),/(n)为可求的和.an—an~an-+an-~an-2+…+。2~a+67l~•/(“—「)+./(“-2)+...+/(1)+Q例1.(07年北京考卷15题)数列｛%｝中，%=2,a“+i=an+cn(c为常数，〃=1,2,3,...),且⑷宀®成公比不
4、为啲等比数列.⑴求c的值(2)求⑺”｝的通项公式.分析：有条件(1)易知Q“+i=an+2n,a｛=2则an=an—an_｛+cin_x—cin_2+・+ci2—cix+4=2(/z—1)+2(/z—2)+...+2+2-n2一77+2点评：一般地，对于型如a”#+/(«)类的通项公式，只耍/(I)4-/(2)+•••+/(«)能进行求和,则宜采用此方法求解，称之为叠加法。类型2.若数列他},通项公式满足递推公式：％+严％•/(心/⑷为可求的积.…-•—=/(«-1)./S-2).../(I)%例2：在数列｛an｝中，%=1,(n
5、+1)•a“+]=n•cin,求a”的表达式。分析：由(n+1)・an+x=n・5得畑~=上一,J“+1乞二幺.鱼.幺…仏二丄2.2…匚I二丄所以①=1axaxci2a-.an_｛234nnn点评：一般地，对于型如an+i=f(n)•如类的通项公式，当/(I)-f⑵…•/(〃)的值可以求得时，宜采用此方法；称之为叠乘法.类型3・若数列｛%｝,通项公式满足递推公式：%=pj+q,p,q为常数P二1为等差，q二0时为等比.当卩工1,少0时，有以下两种构造形式：构造1：由等式的两边除以//由可得:犒=*+£,转化类型1,可求其通式构造
6、2：设存在2,使得a”+]+2=p(atJ+2),解得2=,即卩-1a曲+丄=p@“+厶)，则他+丄｝以⑷+丄为首项，"为公比的等比数列P—1P—1P-1P—1可求其通式例3.(07年全国试卷I22题)己知数列｛a“｝中,a,=2,an+[=(V2一l)(an+2),n=1,2,3,...(1)求｛a”｝的通项公式；C»A(2)若数列｛仇｝中,b、=2,仇+[=,n=1,2,3,...,证明:血7、=-迈,all+｝-V2=(V2-1)(^-V2),可求其通式公式.利用构造1：在等式昭
8、=(72-1)(67,,+2)两边同除以〃=(血-1严可得，6Z6Z2加二》+产’同样可求得其通项公式.类型4.若数列｛%｝,通项公式满足递推公式：aH+｝=paH+f(np为常数分析：可在式子的两边同除以"刈可得:也斗二仏+単，化为类型3构造1,“PnP可求其通项公式.例4.(07年天津21题)在数列｛an｝中，⑷=2卫沖=加“+肝+(2—2)2"(ngAT),其中；I>0.(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)求数列｛色｝的前n项和S“
9、；(3)证明存在keN使得^i±L<^±L对任意的〃wAT均成立Jak分析：山题意得：2>0,式子的两边同除以肝，移项可得，绍-(2严=乞-(2)”+1r+,2r2所以｛乞-(三)"｝是首项为0,公差为1的等差数列，即1)/+2”2"A类型5.若数列｛%｝,通项公式满足递推公式：％2=g+i+*”p，q为常数•分析：若能找到使上式化为:afl+2-aan+l=fi(an+i-aan)-①，令bn=-ocan,贝！J｛/?“｝为等比数列,bn=bJ3"-',且所以勺由-加“(bx=a2-aax),由此可化为类型4.下而主耍探讨如何
10、来确定a./3:①可化为q”+2=(q+0)g“+]-印％“，比较得q+0=p-a•[3=q；a,0为方程，一“兀一彳=0的两根,此方程称a*=pan^+qan,的特征方程•于是有°讥2一皿沖=0(佥+1一叫)=02(%-acin!)=...=0"
