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1、数列通项公式的求法探讨通项是数列中的一个重要概念，通过通项公式，我们也就弄清楚了相应数列，因此求数列通项公式就成了一个非常重要的问题，那么如何求得数列的通项公式呢？本文在此作一初步探讨。一、观察法对一个只给出了前几项的数列，应观察它的变化规律，哪些是不变量，哪些是随项数变化而变化的量，从而得出数列的通项公式。同时，要注意检验写出的通项公式应符合前面的几项。例■写出数列，，，，，……的一个通项。解：数列各项为一个分数，但其中，不利于观察它们的规律，若把它们改写为，，则原数列为：这个数列分母比分子大2,分子随项数变化，符号成-，+*……变化，故二、利用关系w与丨的关系
2、是*吵1,什彡2），利用这一关系可以化“和”为“项”。一般己知里涉及与旮的用此法可求出通项。例2设正项数列前n项和为若对任何自然数。都成立，求通项。解：(I)4Sf4^-H(2)由(2)■(I)得：W-H>--H2-W-2<(^-Hv)...(»b+Hlb)(wHv2)又由4*t4SI>IMU■可得*t2故是以2为首项，以2为公差的等差数列。三、累加法当数列的递推公式可化为)(n彡2)的形式，.目.■(■)■*■(2)+••…-ta(^)是可求得的时，那么可以用“累加法”求得通项公或。例3已知数列*吵，求数列公》的通项公式。解：•••,•••,...,,将以上各式
3、左右分别相加，可得：v〜t2(W»»•■■):>-3,•••::3«，1四、累积法当数列的递推公式可以化为:(n)(n彡2)的形式，且■(I)‘!■(2)……‘!■(R)是可求得的时，那么可以用“累积法”求得通项公式。例4己知数列，：＞■■(■彡2),求通项。解：^2^-13--!,//.：3,：52,……,：＞-1将以上各式左右分别相乘，可得：：3»：＞-t3He+:••••t■’•••*"=五、待定系数法对于形如w+i=iw+y(y为非春常数)的递推公式，用待定系数法可配成w+«l3(w，)的形式，其屮1=(■矣h，再转化为等比数列可求得通项。例《己知数列"
4、0»茜足*61，求通项v。解：•••w+Hi=2(w*)，令lFy»，则•••：2又I•••"■fS是以4为首项，以2为公比的等比数列。.ln-2--H,A^-2--H-3六、构造新数列对于形如■(-)的‘：■推公式，可构造新数列转化为为非》常数)型求M。例fc数列Op，*t,*■：+(■彡2)，求通项V。解：...w=+,+■，令则■乂》t2*t*.•.钃是以为1/2首项，以I为公差的等差数列。/.In="■，人1^:注：若题中己知w-l的系数不是1/2,而是其它的非零常数，则用此法可转化为为非•常数）的形式求V。七、倒数法对于形如（■、
5、^t）的递推公式，可
6、两边同除以产生v+l与z的倒数，再求例T已知数列心》勺前■项和为丨，且：：!•，■■（■彡2），*t,求WO解：（^2）,又以=^》，1,»--1两边同除以旮‘》叫得：■=■令h:则h-l■In=■即h-lft-l又It==.•.t»是以为首项，以醐1为公差的等差数列。/.In—EPS-2.•.^^■-$■-1（，彡2）—2'訾：八、迭代法对于形如（I、•且为常数）的递推公式，它表示的是相邻三项间的递推关系，可通过构造新数列或反复迭代转化为表示相邻两项间的递推关系的类型，如/为非•常数）或+
7、3^BhiR）,再求出通项V。例•设*th:利X2/3w(-：
8、,2,…
9、…)，求数列通项公式。(2H4年高考重庆卷(文)22题(I)问)解：•••«/■■wl=(-1Xw2)■wt(wl■w2)2()2(w2-w3)22()f-2(»2-*1)2()n-2(-I)2()f-I.*.^□^-1+()F-l再次反复迭代得：w:L*-2+()n-21+()产■■y3+()n-3+()n-2+()n-l:……：H-()1+()2++()n-2+()n-l：＞3：()n•••w：W：()-九、猜证结合法对于形式特点不突出的递推公式，可写出数列的前几项，再由前几项猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明。例，设数列茜足■■wH,且*吵，r求
10、数列勺通项公式。(2H2年全国高考卷22题(I)问)解：由*和**+t*"2™wH得：*3=4,.4f由此猜想w=fl-H.用数学归纳法证明(略)。总之，求数列通项公式的问题比较复杂，背景新颖，不可能一一论及。但只要我们抓住己知，分析结构特征，善于合理变形，熟练运用以上的基木方法，求数列通项的问题还是不难解决的。
