对“双曲线第三种定义”的再思考.doc

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1、对“双曲线第三种定义”的再思考北京市LI坛屮学张留杰［文1］屮给出如下的“双Illi线的第三种定义方法”：定义到两条相交定育线距离Z积等于常数的点的轨迹叫双曲线.这两条定直线叫双1111线的渐近线.x+—(x>0),［文2］以下面的一道例题：“探求函数y=<；的图象•”对［文I］的定义产x—(x<0).生了质疑.笔者认为，质疑是有道理的，但若完全否定该定义有点不妥.利用几何呦板我们可以得出函数y=x+-和)丄的图彖(如图)，它们在同一坐标系内恰好是以宜线％=0和y=x为渐近线的一对共辘双曲线，并且根据［文1］的证明方法，不难证明这两条双曲线是“到肓线x=0和)ux的距离之积为常数〒的点

2、的轨迹”.而［文2］屮函数图象是由这对共觇双曲线在渐近线y=x±方的部分构成，显然不是同一条双曲线的两支.根据［文1］的证明过稈，若将“定义”做如下改动，也许就不会产生质疑了.双曲线的第三定义平面内到两条相交定直线距离之积等于非零常数的点的轨迹是一对共純双111!线，这两条定肓线是这对共純双曲线的渐近线.证明：以相交肓线/「厶的夹角平分线为坐标轴，建立平面育角坐标系,设厶、厶的方稈分别为y=^y=-kx,动点P的坐标为（X,）0,它到心的距离分别为〃1y-kx\Jl+k2,2j22

3、22设gin（宀0）,则丄仃产”，可化为应亡亘一；^条"I，它表示以），=±匕为渐近线的双曲线.于是

4、还可得出22j双曲线的又一性质双曲线冷-与二±1上任意一点到两渐近线y=±-x的距离Z积era为定值5二・（证明过稈请读者完成）c~参考文献1史立新双1111线第三种定义方法数学通报2004.42厉倩质疑“双1111线的第三种定义方法”中学数学2005.7