复数的乘法及其几何意义教案-人教版[整理].doc

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1、复数的乘法及其几何意义教案教学目标1.掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程.2.掌握复数乘法的几何意义.3.让学牛领悟到“转化”这一重要数学思想方法.4.培养学牛探索问题、分析问题、解决问题的能力.教学重点与难点重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算.难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学牛掌握.教学过程设计W：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的吋间，完成以下两道题的演算.(利用投影仪出示)1.(1-21)(2+i)(4+31)；2.化

2、《敷碍g马划阖如1三角那式.(5分钟后)师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25,第2题检查了复数的三角珈《金畑》代珈试与三角影式的互化・答畑-莘扣扌卜》¥巧弘¥)•如舉有的同钿隔了・应整一«毎样错的？1S的慝因是什么？皤纠正r请同学们再考虑下面一个问题:如果把复数乙，Z2分别写成z严「（cosBi+isinBJ,z2=r2（cos02+isin02）.z,-z2这乘法运算怎样进行呢？想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见.（教师在教室里巡视，稍过几分钊J请一•位已经做完的同学在黑板

3、上写出推导过程）学牛板演：Zi•z2=r1（cos0i+isin0D•r2（cos02+isin02）二（r,cos0i+irsin0J•（ncos02+ir2sin92）二（r（r2cosB】cos◎2-rlnsin0）sinB2）+i（rii^sinB）cosB2+rir2cos。）sin（）J二thJ（cos（）】cos（）厂sin0isin（）2）+i（sin（）】cos（）2+cos（）isin（）2]=rir2[cos（0i+02）+isin（01+02）].师：很好，你是怎样想出来的？

4、为什么这样想？牛：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算.根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简.在己知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法.我是根据这个思想才想出来的.师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？牛：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和.W：利用这个结论，请同学们计算：大家把计算过程写在笔记本上.（教师请一位同学在黑板丄板演）解・yf2(

5、cos—+isin—)•4^Ccoi—+isui—)=y/5・$〔88+百)+詁迪(厉■十百)1=汞Cco®"T"・44教师提示：由于复数定义是形如a+bi（a,bWR）的数，如果辐角是特殊角或特殊角的终边相同角，要化成代数形式.即=^CT+T°师：同学们已经发现，复数的三角形式的乘法运算若用r,（cosBi+isinB】）•r2（cos2+isinB2）二口口[cos（B。2）+isin（0i+（）2）]计算，简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运

6、算吋要清楚模怎样算？辐角怎样算？使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值.同学们已经了解，复数通过儿何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用.我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？（同学分组讨论，请小组代表发言.如果条件允许，在学牛发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋

7、转）牛：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角02（（儿＞0,如果（）2＜0,按顺吋针方向旋转一个角丨02

8、,再把其模变为原来的口倍（口＞1,应伸长；应缩短；n=l,模长不变），所得的向量就表示积Z,•Z2.这是复数乘法的儿何意义.图形演示（如图8-7）:OZ^OZ,•OZ师：现在我们研究问题.如图8-8,向量更与复数-l+i对应，把魏按逆时针方向旋转120°得到魏'.求与向量魏'对应的复数.请同学们想想.牛这是形数结合问题，给的题设情境是向量旋转，根据复数乘法的

9、几何意义，将向量魏逆时针方向旋转120。，得到魏',由于模未发牛变化，应当是32对应复数乘以1・（cosl20°+isinl20°）・师：解此题复数是否一定化成三角形式？牛：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，尢论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式,应根据需要来选择.师：说得好，请同学们写一下解题过程.（找一名同学到黑板板演）解：所求的复数就是-1+i乘以一个复数z°的积，这个复数N的模是1,辐角的主值是120