概率论与数理统计22.ppt

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1、2.2随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望二、随机变量的方差2.2随机变量的数字特征三、随机变量的矩与切比雪夫不等式判断棉花质量时,既看纤维的平均长度平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好又要看纤维长度与平均长度的偏离程度例如：问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差例如：一、随机变量的数学期望引例121

2、23321221012345678910频率频数中靶环数求该射手的平均成绩此数值是对射手真实水平的综合评价，它是以概率为权重的加权平均，称为r.v.X的数学期望。解：定义：注：(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变。(3)如果D.r.v.只取有限多个值，EX一定存在。试问哪个射手技术较好?例谁的技术比较好?乙射手甲射手解：平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪

3、击中9.1环.因此甲射手的本领要高一些.2.连续型随机变量的数学期望定义设顾客在某银行窗口等待服务的时间为X(以分计),其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.例顾客平均等待多长时间?例均匀分布则有结论:均匀分布的数学期望位于区间的中点.3、随机变量函数的数学期望定义（1）概念(2)r.v.函数的期望X012P解:练习：求:4、数学期望的性质(3)如果EX,EY存在，则E(X+Y)存在，且E(X+Y)=E(X)+E(Y)；二、随机变量的方差-----离差-----绝对离差1.方差

4、的定义定义：注：（1）DX是一个确定的非负常数，它的大小反映了r.v.X对于EX的平均偏离水平。（2）若EX不存在，则DX一定不存在；若EX存在，则DX不一定存在。2.随机变量方差的计算例均匀分布的方差则有3.方差的性质(1)设C是常数,则有(3)设X是一个随机变量,a是常数,则有解：练习：数学期望方差含义本质上体现了随机变量X取可能值的真正平均值。反映了随机变量X对于EX的平均偏离水平。离散型随机变量连续型随机变量性质（1）原点矩定义：（2）性质练习：1、对任意的随机变量X，如果存在那么下列式子恒成立：.()2、学习

5、指导与习题解析一（9）注：DX为二阶中心矩。2、切比雪夫不等式----r.v.X取值越集中在EX附近----r.v.X取值越分散得证明对连续型随机变量的情况来证明.注：可用此不等式对r.v.X的概率分布进行粗略的估计。例：已知EX=1，标准差为0.1，求a，使得解：由切比雪夫不等式则PafnutyChebyshevBorn:16May1821inOkatovo,RussiaDied:8Dec1894inStPetersburg,Russia契比雪夫资料