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1、轨迹方程的若干求法求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.一、直接法直接根据等量关系式建立方程. 例1 已知点，动点满足，则点的轨迹是（ ） Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线 解析：由题知，， 由，得，即， 点轨迹为抛物线．故选Ｄ． 二、定义法 运用有关曲线的定义求轨迹方程． 例2 在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程． 解：以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，为重心，则有． 点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中．． 所求的重心的轨迹方程为． 注意：求轨
2、迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 三、转代法 此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3 已知△ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程． 解：设，，由重心公式，得 又在抛物线上，． ③ 将①，②代入③，得，即所求曲线方程是． 四、参数法 如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来． 例4 已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段6满足，求直线与的交点的轨迹方程． 解：如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系． 设点，则由题意，得
3、． 由点斜式得直线的方程分别为． 两式相乘，消去，得．这就是所求点M的轨迹方程． 评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变. 五、待定系数法 当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5已知Ａ，Ｂ，Ｄ三点不在一条直线上，且，，，．（1）求点轨迹方程；（2）过作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求椭圆方程． 解：（1）设，由知为中点，易知． 又，则． 即点轨迹方程为； （2）设，中点． 由题意设椭圆方程为，直线方程为． 直线与点的轨迹相切， ，
4、解得． 将代入椭圆方程并整理，得， ， 又由题意知，即，解得．6故所求的椭圆方程为．歼灭难点训练一、选择题1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得
5、PQ
6、=
7、PF2
8、，那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.B.C.D.二、填空题3.△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为______
9、___.4.高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.已知A、B、C是直线l上的三点，且
10、AB
11、=
12、BC
13、=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.6.双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.7.已知双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的
14、直线l交双曲线于点P、Q.(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；6(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.参考答案歼灭难点训练一、1.解析：∵
15、PF1
16、+
17、PF2
18、=2a,
19、PQ
20、=
21、PF2
22、,∴
23、PF1
24、+
25、PF2
26、=
27、
28、PF1
29、+
30、PQ
31、=2a,即
32、F1Q
33、=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴∵A2、P2、P共线，∴解得x0=答案：C二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,6∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.答案：4.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别
34、切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：
35、BA
36、=
37、
