圆锥曲线中轨迹方程的求法

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1、圆锥曲线中轨迹方程的求法临沂——李宝峰求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.一：直接法：是求轨迹方程最基本的方法，如果动点P满足的等量关系易于建立，可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，构成F（x，y）=0，即可得到轨迹方程。一般有设点，列式，代换，化简，证

2、明（可省略）五个步骤。但要注意“挖”与“补”。直接根据等量关系式建立方程.例1已知点，动点满足，则点的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线解析：由题知，，由，得，即，点轨迹为抛物线．故选Ｄ．例1：两个定点的距离为6，点M到两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹。分析：根据题意建立合适的坐标系，列出等量关系即可。二：定义法（待定系数法）:适用于根据条件可直接判断轨迹是什么曲线，且知道其方程形式的情形（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），运用解析几何中定义,则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。，例2在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的

3、轨迹方程．解：以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，为重心，则有．点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中．．所求的重心的轨迹方程为．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.例2：已知:⊙c1（x+3）2+y2=1和⊙c2（x-3）2+y2=9,动圆M与⊙c1,⊙c2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。三：相关点法（代入法）：若所求动点随另一动点（称为相关点，该点坐标满足某已知曲线方程）有规律运动，根据条件找出它们坐标间的关系，用动点坐标表示相关点坐标，由相关点坐标满足的方程可求得动点轨迹方程。本法关键找出动点与相关点间的坐标关系。5即设出动点P（x，y），用（x，

4、y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。27.（安徽理21）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设①再设解得②将①式代入②式，消去，得③又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得故所求点P的轨迹方程为例3已知△ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心5的轨迹方程．

5、解：设，，由重心公式，得又在抛物线上，．③将①，②代入③，得，即所求曲线方程是．例3：已知线段ＡＢ的端点Ｂ（４,３），端点Ａ在圆（x＋１）2+y2=４上运动，求线段ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方程。四：参数法：在求轨迹方程时，变量x，y间的关系不易得到，可通过分析动点的变化规律及特点，寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参数用来表示动点的坐标x，y，消去参数即可。常见的参数有角度，直线的斜率，点的坐标，线段的长度等。例4：设点A，Ｂ为抛物线y2=４px(x>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB,OM⊥AB,垂足为M，求点M的轨迹方程。分析:点A,B坐标满足抛物线的方程，又OA⊥

6、OB，可设OA的斜率k,作为参数，可得斜率间的关系，又OM⊥AB，也可以得到斜率间的关系，消参可得点M轨迹方程。例4已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程．解：如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系．设点，则由题意，得．由点斜式得直线的方程分别为．两式相乘，消去，得．这就是所求点M的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.五：交轨法：求两动曲线交点的轨迹问题时，可将适合于每一条件的轨迹方程做出，联立方程，通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所

7、求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。例5：如图，垂直于x轴的直线交曲线－＝1于M,N两点，A1，A25为双曲线顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程。注：求轨迹方程注意参数范围对方程的影响，注意方程的完备性与纯粹性及轨迹与轨迹方程的区别。顶点作互O的轨迹。（考例5）过抛物线y2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA,OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。六：点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两