基本波动方程的求解方法.doc

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1、关于弦振动的求解方法李航一、无界弦振动1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题<达朗贝尔公式>在常微分方程的定解问题中,通常是先求方程的通解,然后利用定解条件确定通解所含的任意常数,从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为由达郎贝尔公式,解在点的值由初始条件在区间内的值决定,称区间为点的依赖区域,在平面上,它可看作是过点,斜率分别为的两条直线在轴上截得的区间。2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题令,可将此定解分解成下面两个定解问题:5(I)(II)其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出:。对于问题(II),有下面重要的定理。定理(齐次化原理)设是柯

2、西问题的解,则是问题(II)的解。二、有界的弦振动方程1、分离变量法齐次条件的分离变量法(1)(2)(3)设,代入方程(1)得:5上式右端不含,左端不含,所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为,则有:   (4)   (5)所齐次边界条件可得:   (6)从而特征值问题:对的取值分三种情况,进行讨论。这个定解的特点是:偏微分方程是齐次的,边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解,通过叠加求定解问题的解。非齐次条件分离变量法分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏,则不能采用分离变量法解。分离变量法要求定

3、解问题的边界条件是齐次的,这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来,如果边界条件非齐次,则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时,必须设法将边界条件化成齐次的。如:5设,通过适当选取使新的未知函数满足齐次边界条件,这只须使满足:,即可。小结:分离变量法的解题步骤a,令b,将试探解带入泛定方程。c,将等式两边同时乘以,进行分离变量,获得两个常微分方程。d,由边界条件,将方程解出需要讨论本征值(,)三种情况,获得本正值和本征函数。e,写出解的形式后与一起构成通解形式。f,由初始条件确定待定系数。三、无界、有界,齐次、非齐次的通解方法傅里叶级数解法设(4),其中构造让其

4、满足(2)则:5所以对有:令(9)式带回到(6)式解出:整理出与构成的解,再带回到(3)是求出待定系数。小结:一般傅里叶级数的求解步骤1、令,其中展开基为对应齐次函数本征函数(由边界条件决定)2、将带入泛定方程后,将也按展为傅里叶级数,比较等式两边,获得的常微分方程。3、将带入初始条件,得到关于方程的定解条件。4、解关于的常微分方程。5、将解的通解形式带回到中即可。(此时即为方程的解)5

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