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时间:2020-03-20
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1、高三数学专题复习之:指数函数、对数函数和幂函数考点一:指数与指数幂的运算一.【基础知识回顾】1.方根的定义:如果一个数的次方等于(),那么这个数叫做,即如果,那么叫做的次方根.当是奇数时,的次方根表示为,当是偶数时,正数的次方根有个,这时正数的正的次方根表示为,负的次方根表示为,0的方根都是0;根式中叫做,叫做.2.根式的性质:⑴⑵当是奇数时,=,当是偶数时,=,(3)负数没有偶次方根;0的任何次方根都是.3.幂的有关概念:(1)正整数指数幂:表示;(2)零指数幂=,();(3)负整数指数幂:();(4)正分数指数幂:(,且);(5)负分数指数幂:
2、(,且);(6)0的正分数指数幂等于;0的负分数指数幂.注意:分数指数幂不能随便约分化简,如不能写成,必须认真考查的取值才能确定.4.幂的运算法则:;⑴;⑵;⑶二.【范例分析】例1化简:(1)=(2)=变式:化简1.例2化简:(1)=(2)=例3化简:=例4已知,求下列各式的值:(1);(2).考点二:指数函数及其性质一.【基础知识回顾】7-7-1.指数函数的定义:一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为.2.指数函数的图象和性质:图象性质定义域值域过定点单调性在R上是函数在R上是函数底数越大,图像在第一象限越靠近轴底数越小,图像在第
3、二象限越靠近轴当时,当时,当时,当时,3.指数函数和指数方程、指数不等式之间的关系:;时;时;二.【范例分析】例1:说明下列函数的图象与的图象的关系,并画出它们的示意图:⑴⑵例3:比较大小:①②③例4:求下列函数的定义域和值域:⑴⑵⑶例5:函数(,且)的图象一定恒过定点例6:已知,则例7:已知对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围7-7-例8.已知函数(1)证明:在定义域内是增函数;(2)求函数的值域。考点三:对数及其运算一.【基础知识回顾】1.对数的定义:如果(且)的次幂等于N,就是,那么数叫做以为底N的对数,记作,其中叫做,N叫做。2.常用对数
4、和自然对数:叫做常用对数,N的常用对数记作;叫做自然对数,N的自然对数记作。3.对数的运算性质:若,,则①;②;③;④4.对数的基本性质:①负数和零对数;②1的对数等于0,即;③底数的对数等于1,即;④对数恒等式;⑤换底公式:⑥⑦二.【范例分析】例1:若且,,,则下列各式中正确的有①;②;③;④;⑤;⑥;⑦;⑧变式训练:1.对吗?2.若,则。例2:计算下列各式:⑴⑵⑶7-7-例3:设,求的值。例4:若,求的值。例5设,则满足的的值为。考点四:对数函数一.【基础知识回顾】1.对数函数的定义:一般地,我们把函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是
5、。注意:函数(且)与函数互为反函数。2.对数函数(且)的图像和性质:图象性质定义域值域过定点单调性在上是函数在上是函数底数越大,图像在第一象限越靠近轴底数越小,图像在第四象限越靠近轴当时,当时,当时,当时,二.【范例分析】例1:求下列函数的定义域:(1)(2)(3)7-7-例2:⑴,,的由大到小顺序为(2)若,则()A.B.C.D.(3)若,则(4)已知,且,求的范围。例3:求函数的单调区间和值域。例4:若函数的值域为,求实数的取值范围。变式训练:若函数的定义域为,求实数的取值范围。例5:方程的实数根有个例6:已知函数(且)(1)求函数的定义域;(
6、2)当为何值时,函数值大于1?考点五:幂函数一.【基础知识回顾】1.幂函数的定义:一般地,函数叫幂函数,其中为常数,是自变量。7-7-2.幂函数的性质:(1)所有的幂函数在都有定义,并且图象都过点;(2)当时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数,特别地,当时,幂函数的图象在第一象限为型;越大,图像在第一象限越靠近轴,当时,幂函数的图象在第一象限为型;越大,图像在第一象限越靠近轴(3)当时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴(4)幂函数y=x
7、(∈R)的图像主要分以下几类:①当=0时,图像是过(1,1)点平行于x轴但除去(0,1)点的一条断直线。②当为正偶数时,幂函数为偶函数,图像过第一、二象限及原点。③当为正奇数时,幂函数为奇函数,图像过第一、三象限及原点。④当为负偶数时,幂函数为偶函数,图像过第一、二象限但不过原点。⑤当为负奇数时,幂函数为奇函数,图像过第一、三象限但不过原点。⑥当为正分数时,设为(m、n是互质的正整数)。如果m,n都为奇数,幂函数为奇函数,图像过第一、三象限及原点;当m是偶数、n是奇数时,幂函数是偶函数,图像过第一、二象限及原点;如果m为奇数、n为偶数,幂函数是非奇
8、非偶函数,图像过第一象限及原点。⑦当为负分数时,设为-(m、n是互质的正整数)。如果m,n都为奇数,幂函数为奇函数,图像过
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