高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数

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1、高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数考点一：指数与指数幂的运算一．【基础知识回顾】1.方根的定义：如果一个数的次方等于（）,那么这个数叫做，即如果，那么叫做的次方根.当是奇数时，的次方根表示为，当是偶数时，正数的次方根有个，这时正数的正的次方根表示为，负的次方根表示为，0的方根都是0；根式中叫做，叫做.2.根式的性质：⑴⑵当是奇数时，=，当是偶数时，=，(3)负数没有偶次方根；0的任何次方根都是.3.幂的有关概念：（1）正整数指数幂：表示；（2）零指数幂=，（）；（3）负整数指数幂：（）;(4)正分数指数幂：（，且）；（5）负分数指数幂：（，且）；（6）0的正

2、分数指数幂等于；0的负分数指数幂.注意：分数指数幂不能随便约分化简，如不能写成，必须认真考查的取值才能确定.4.幂的运算法则：；⑴；⑵；⑶二．【范例分析】例1化简：（1）=（2）=变式:化简1.例2化简：（1）=（2）=例3化简：=例4已知，求下列各式的值：（1）；（2）.考点二：指数函数及其性质一．【基础知识回顾】7-7-1.指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数的图象和性质：图象性质定义域值域过定点单调性在R上是函数在R上是函数底数越大，图像在第一象限越靠近轴底数越小，图像在第二象限越靠近轴当时，当时，当时，当时，3.指

3、数函数和指数方程、指数不等式之间的关系：；时；时；二．【范例分析】例1：说明下列函数的图象与的图象的关系，并画出它们的示意图：⑴⑵例3：比较大小：①②③例4：求下列函数的定义域和值域：⑴⑵⑶例5：函数（，且）的图象一定恒过定点例6：已知，则例7：已知对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围7-7-例8.已知函数(1)证明：在定义域内是增函数；（2）求函数的值域。考点三：对数及其运算一．【基础知识回顾】1.对数的定义：如果（且）的次幂等于N，就是，那么数叫做以为底N的对数，记作，其中叫做，N叫做。2.常用对数和自然对数：叫做常用对数，N的常用对数记作；叫做自然对数，N的自然

4、对数记作。3.对数的运算性质：若，,则①；②；③；④4.对数的基本性质：①负数和零对数；②1的对数等于0，即；③底数的对数等于1，即；④对数恒等式；⑤换底公式：⑥⑦二．【范例分析】例1:若且，，,则下列各式中正确的有①;②;③;④;⑤;⑥;⑦;⑧变式训练：1.对吗？2.若，则。例2：计算下列各式:⑴⑵⑶7-7-例3：设，求的值。例4：若，求的值。例5设，则满足的的值为。考点四：对数函数一．【基础知识回顾】1.对数函数的定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是。注意：函数（且）与函数互为反函数。2.对数函数（且）的图像和性质：图象性质定义域值域过

5、定点单调性在上是函数在上是函数底数越大，图像在第一象限越靠近轴底数越小，图像在第四象限越靠近轴当时，当时，当时，当时，二．【范例分析】例1：求下列函数的定义域：(1)(2)(3)7-7-例2：⑴，，的由大到小顺序为（2）若，则（）A.B.C.D.（3）若，则（4）已知，且，求的范围。例3:求函数的单调区间和值域。例4：若函数的值域为，求实数的取值范围。变式训练：若函数的定义域为，求实数的取值范围。例5：方程的实数根有个例6：已知函数（且）（1）求函数的定义域；（2）当为何值时，函数值大于1？考点五：幂函数一．【基础知识回顾】1.幂函数的定义：一般地，函数叫幂函数，其中为

6、常数，是自变量。7-7-2.幂函数的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数，特别地，当时，幂函数的图象在第一象限为型；越大，图像在第一象限越靠近轴，当时，幂函数的图象在第一象限为型；越大，图像在第一象限越靠近轴（3）当时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴（4）幂函数y=x（∈R）的图像主要分以下几类：①当=0时，图像是过（1，1）点平行于x轴但除去（0，1）点的一条断直线。②当为正偶数时，幂函数为偶函

7、数，图像过第一、二象限及原点。③当为正奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点。④当为负偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限但不过原点。⑤当为负奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限但不过原点。⑥当为正分数时，设为（m、n是互质的正整数）。如果m，n都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点；当m是偶数、n是奇数时，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限及原点；如果m为奇数、n为偶数，幂函数是非奇非偶函数，图像过第一象限及原点。⑦当为负分数时，设为-（m、n是互质的正整数）。如果m，n都为奇数，幂函数为奇函数，图像过