相似三角形在圆中的运用.doc

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1、25．如图，是⊙的直径，是⊙上一点，是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD．（1）求证：AF⊥EF；（2）若，AB=5，求线段BE的长．25．（1）证明：连结OD．∵直线EF与⊙O相切于点D，∴OD⊥EF．∵OA=OD，∴∠1=∠3．…………………………..1分∵点为的中点，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OD∥AF，∴AF⊥EF．………………..…………2分（2）解：连结BD．∵，∴，……………….………………..……3分在Rt△ADB中，AB=5，∴BD=，AD=，在Rt△AFD中，可得DF=2，

2、AF=4，∵OD∥AF，∴△EDO∽△EFA，….………………4分∴，又∵OD=2.5，设BE=x，∴，∴，即BE=．…………………….….…….5分（1）圆题目的第二问通常需要作一条辅助线（2）当涉及到求具体边的长度时，通常会利用到求半径长度25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径.（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF=1，DC=3，求AE的长．25.(本小题满分5分)（1）证明：⊙O与边AB相切于点E，且CE为⊙O的直径．CE⊥AB．AB=AC，AD⊥BC

3、，．………………………………1分又OE=OC，OD∥EB．OD⊥CE．………………………………2分（2）解：连接EF．CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，∠EFC=90°．CE⊥AB，∠BEC=90°．=90°．．．．又DF=1，BD=DC=3，BF=2，FC=4．．…………………………………………………3分∵∠EFC=90°，∴∠BFE=90°．由勾股定理，得．……………………4分EF∥AD，．．……………………………………………………5分要锻炼找相似三角形的能力，圆中经常与相似三角形结合25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O

4、的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF.（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长.B25．（1）证明：连接OC，…………………..(1分)∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°∵OF∥BC∴∠AEO=90°，∴OF⊥AC，∵OC=OA，∴∠COF=∠AOF，∴△OCF≌△OAF∴∠OAF=∠OCF∵PC是切线∴∠OCF=90°，……………………..(2分)∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线……………………..(3分)（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，FA⊥OA

5、，∴OF===5∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AF·OA=OF·EA，……………………………..(4分)∴3×4=5×EA，解得AE=，AC=2AE=………………………………………..(5分)熟练掌握相似三角形基本图形25.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使CD=BC，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为2，ED=1，求AC的长．25.证明：（1）证明：连接OC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠ABC＋∠BAC=90°.[来源:学科网]∵CM是

6、⊙O的切线，∴OC⊥CM.∴∠ACM＋∠ACO=90°.1分∵CO=AO，∴∠BAC=∠ACO.∴∠ACM=∠ABC.2分（2）解：∵BC=CD，OB=OA,∴OC∥AD.又∵OC⊥CE,∴CE⊥AD.------3分∵∠ACD=∠ACB=90°,∴∠AEC=∠ACD.∴ΔADC∽ΔACE.∴.4分[而⊙O的半径为2,∴AD=4.∴.∴AC=2.5分[21.如图，是的直径，是圆周上一点，于点.过作的切线，交的延长线于点,连接.（1）求证：是的切线.（2）若，，求的半径.21.解：（1）证明：连结OC.是的弦，，OA=OC在和中，…………

7、…1分切于点C即又OA是的半径，是的切线……………………………2分（2）连结BC.是的直径，又设CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k>0)∽…………………………………………………………………………3分设CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k>0)……………………………4分的半径长为5………………………5分解直角三角形与相似结合25．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E.过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G.（1）求证：GE是

8、⊙O的切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．第25题图25．（1）证明：连接OD∵OC=OD，∴∠C=∠ODC∵OC⊥AB∴∠COF=90°……………………………………1分∴∠OCD