小波分析解析的基本理论.docx

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1、东北大学研究生考试试卷评分考试科目：状态监测与故障诊断课程编号：阅卷人：考试日期：2013.12姓名：王培军学号：1300483注意事项1．考前研究生将上述项目填写清楚2．字迹要清楚，保持卷面清洁3．交卷时请将本试卷和题签一起上交东北大学研究生院小波分析的基本理论小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的。小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能和优点。而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。所以理论基础渐已扎实，理论体系逐步完善，

2、在工程领域已得到广泛应用。1小波变换理论1.1连续小波变换2定义1.1小波函数的定义：设（x）为一平方可积函数，也即（x）L（R），若其傅里叶变换（ω）满足条件：+（）C=d<+∞1-1−则称（x）是一个基本小波或小波母函数（MotherWavelet），并称上式为小波函数的容许性条件。由定义1.1可知，小波函数具有两个特点：（1）小：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。由定义的条件知道任何满足可2容许性条件的L（R）空间的函数都可以作为小波母函数（包括实数函数或复数函数、紧支集或非紧支集函数等）。但是在一般的情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的同时

3、具有时域和频域的局部性实数或复数函数作为小波母函，让小波母函数在时域和频域都具有较好的局部特性，这样可以更好的完成实验。（2）波动性：若设（）在点ω=0连续,则由容许性条件得:+xdx=0=01-2−也即直流分量为零,同时也就说明（x）必是具有正负交替的波动性,这也是其称为小波的原因。定义1.2连续小波基函数的定义:将小波母函数（x）进行伸缩和平移,设其收缩因子(即尺度因子)为a,平移因子为b,使其平移伸缩后的函数为a,b（x）,则有:1x−b−x=a2，a>0，b∈R1-3a，ba称a,b（x）为依赖于参数a,b的小波基函数。由于伸缩因子a,平移因子

4、b都是取连续变化的值,因此又称a,b（x）为连续小波基函数。它们是一组函数系列,这组函数系列是由同一母函数（x）经伸缩和平移后得到的。2定义1.3若f（x）L（R）,函数f(x)在小波基下进行展开,则f(x)的连续小波变换(CWT)定义为:1+x−bWfa，b=fx，x=fxdx1-4a，ba−a由定义1.3可知,小波基具有收缩因子a和平移因子b,若将函数在小波基下展开,就是把一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上,把一个一维函数变换为一个二维函数,即连续小波变换Wf（a,b）是f（x）在函数a,b（x）上的“投影”。小波函数若满足容许性条件(

5、1-1),则存在其逆变换。由小波变换的系数可以重构信号,其重构公式为：1++dafx=Wfa，bxdb1-5C−−a，ba2定理1连续小波变换是一种线性变换,具有如下性质:（1）叠加性:设f（x）=k1f1（x）+k2f2（x）,则:Wf（a,b）=k1Wf1（a,b）+k2Wf2（a,b）1-6（2）时移不变性:设g（x）=f（x-c），则：Wg（a,b）=Wf（a,b-c）1-7（3）尺度变换:设g（x）=f（cx），则:1a−Wga，b=c2Wf，bc1-8c该性质说明，信号在连续小波变换的尺度a和位移b上做拉伸时，其信号也在时域拉伸，且能保持

6、拉伸前后的形状不变。222（4）内积定理:对于f（x）L（R），则有Wf（a,b）L（R），并且对f（x），2g（x）L（R），会有：{Wf（a,b），Wg（a,b）}=C{f（x），g（x）}1-9（5）能量关系：当内积定理中的信号f（x）g（x）时，内积定理变为：+∞1+∞2+∞2daWfa，bdb=Cf（x）dx1-100a2−∞−∞同时称式1-10为能量关系。性质（4）和性质（5）表明，信号的变换域内积和时域内积之间保持着一定的联系，小波变换系数的幅度平方在尺度位移平面内的积分实际上是在尺度位移域内能量的积累，它与原始信号的能量成正比。1.2离

7、散小波变换由前文定义的连续小波基函数：1x−bx=2-11a，baa式中a，bR，a0，满足容许性条件，并且伸缩因子a,平移因子b是连续变化的。由于连续小波变换系数的信息量是冗余的虽然在有些情况下连续小波变换的冗余性是有益的。例如，在图像降噪进行数据恢复及特征提取时，连续小波变换以牺牲计算量、存储量为代价来获得更好的结果。但是许多情况下需要考虑的是在数字处理中压缩数据和节约计算量，这样便希望可以再不丢失原信号的情况下，尽量减小小波变换