魔方组合原理.doc

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1、目录前言-1-第一章预备知识-2-(一)魔方的结构-2-(二)术语记号-2-(三)程序、对称程序与逆程序-3-第二章开解法-5-(一)上边块-5-(二）上角块-5-(三）中边块-6-(四）下角块-7-(五）下边块-9-第三章开解法证明(Ⅰ)-11-(一)上层和中层开解法的完备性-11-(二）置换概念初步-11-(三）下角块定位开解法的完备性-13-第四章开解法证明（Ⅱ）-15-(一)跷跷板原理-15-(二)扭转代数-16-(三)下角块定向开解法的完备性-17-第五章开解法证明(Ⅲ)-20-(一)翻转代数与下边块定向开解法的完备性-20-(二）

2、置换代数-20-(三）下边块定位开解法的完备性-21-第六章方块的空间状态暨魔方表示定理-23-(一)方块的空间状态-23-(二)魔方表示定理-25-第七章几个重要的计数公式-27-(一)轮换的计数公式-27-(二)方块平均分组-28-(三)平均分组下的置换计数公式-29-(四)表达式※的推导-30-第八章魔方组合计数-32-(一)方块的方向组合数-32-(二)角块的置换组合数-33-(三)边块的置换组合数-34-(四)魔方方块的总组合数-36-(五)总组合数的另外两种计算法-36-【附录】魔方角块方向问题的群论模型-38-修订后记-43--

3、43-前言关于魔方的书并不很多，我所见到的极为有限的几种，其主题都是魔方的玩法或开解法。至于魔方的组合原理，在这些书中或者只有只言片语，或者只是一种雾里赏花式的漫谈。不过它们都说：要真正理解魔方，必须懂得一门高深的数学，叫作什么“群论”（怪怪的名字!）。本书则不然。首先，它以魔方的组合原理为主题，所给的开解法（虽然可能特别适合于初学者）只是主题开展过程中的一个环节；其次，它尽可能追求系统性和严密性，而不满足于漫谈；最后但也可能最重要的是，它不需要“群论”[注]本书正文末尾一节稍微提到了群论，但只是把它作为一个例子。没有这个例子完全不影响本书的

4、完整性，而例子本身也很容易读懂。注]！凡是学习过中学数学中排列组合知识的人，都可以完全地读懂本书的正文部分。跷跷板原理构成了本书的主线和理论基础。或许正是因为有了跷跷板原理，才使我们得以绕开一些过于抽象的代数知识，对魔方方块那令人眩晕、烦心的组合作出了澄明透彻的解释与刻划。我希望，这一原理能使本书有别于其它所有同类的书。我还真诚地希望，每一个魔方玩家和中学生都能够赏玩这本书。最后补充说明两点：一是现在魔方种类很多，本书所讨论的仅限于由三层共26个小方块构成的那一种，即最原始的鲁毕克魔方(详见本书第一章(一))；此外，对目前一些魔方玩家热心探究

5、的魔方中心块的方向问题，本书按既定体例不予涉及。-43-预备知识(一)魔方的结构魔方是由其六个平面中央的6个方块（称为中心块）、每三个平面交会所成角位置上的8个方块（称为角块）以及各平面边缘位置上的12个方块（称为边块）计26个方块组成（图1）。转动任意一个平面（90°，－90°，180°，360°等），该平面的中心块保持不变，而4个角块和4个边块则发生旋转移动。通过选取适当的平面进行转动，可以使一个角块取代任意另一个角块的位置，一个边块也可以取代任意另一个边块的位置；在这一过程中，每一方块上各面(为一些小正方形)的朝向也随之发生变化。要复原

6、一个混乱的魔方，则必须注意到任何一个可转动方块只适合于一个位置。例如，白绿色边块（每个边块有两种颜色）只能适合白色和绿色平面之间的边缘位置。而一个平面的颜色，是由那个平面上固定的中心块的颜色来决定的。再如，同时染着红色、蓝色和白色的角块（每个角块有三种颜色），其位置应在交会红色、蓝色和白色三个平面的那个角上。一个方块被安放在它应在的那个位置，可以称为位置正确或已归位。当一个方块不但位置正确，而且它的各面的颜色分别和所在平面的中心块的颜色相一致时，我们便说它位向正确或已归位定向。如果因位置不正确而导致一个方块仅有一个面的方向正确，则称此方块对该

7、面已定向。一个被打乱的魔方当其每一个可动方块都已归位定向时，魔方的开解即告完成。(二)术语记号1．约定魔方六个平面的名称如下：上（U）：上平面（任意选一种你喜爱的颜色）下（D）：下平面前（F）：前平面后（B）：后平面左（L）：左平面右（R）：右平面-43-以后我们将用上面括号中的字母去代替括号前面的字。上平面是在开解前任意选定的，选定后在整个开解过程中必须保持不变，从而下平面也将保持不变。前平面根据被打乱魔方的图案在四个竖直面中临时选定，而在开解中又常常需要改选新的前平面，所以它可以是四种颜色之一。每选定或改选一次前平面，左平面、右平面和后平

8、面也就随之而定。2．对各平面进行转动的记法是：U+：把上平面按顺时针方向转动90°U－：把上平面按逆时针方向转动90°U2：把上平面转动180°D+：把下平面按顺时