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1、第四章第一节：定积分的概念1：注：2：注：3：注：由均分可得：再由定义可知：由夹逼原理知：4（1）：4（2）：=4（3）：=5（1）：由得：可知：原式的几何意义为：以原点为圆心，为半径的圆在第一象限的面积，即为：5（2）：由图象可知：面积代数和为：0所以：5（3）：由图象知：所以：6：金属丝的质量为：7：以水面上任意一点为原点，垂直向下为轴方向建立直角坐标系，在处所受到的压强为：；面积元为：所以：8：当为奇函数时，函数关于原点对称，则有与与轴围成的图形面积相等，符号相反，所以有：当为偶函数时，函数关于轴对称，则有与与轴围成的图形面积相等，符号相
2、同，所以有：习题4-2（A）1.比较下列积分大小（1）解：利用例2.1的结果，当f(x)不等于0时，因为f(x)≥0,而是数值，它只有是零和不是零两种可能，设若=0，则由已证得例2.1结果，在[a,b]上必有f(x)≡0,与f(x)不恒等于0矛盾，所以得出结论：若在[a,b]上，f(x)≥0且f(x)不恒等于0，则>0.在[0,1]上ex-≥0且ex-不恒等于0，所以>0，所以>。（2）解：，因为在[0,1]上x2-x3≥0且x2-x3不恒等于0，所以>0，所以>。（3）解：，因为在[1,2]上x2-x30且x2-x3不恒等于0，所以<0，所以
3、<。（4）解：构造函数f(x)=sinx-x,则f’(x)=cosx-1,在（0，]上单调递减，从而有f(x)=sinx-x，所以>0，有>（5）解：构造函数f(x)=ln(1+x)-,在[0,1]上f’(x)=>0,所以f(x)在[0,1]上是增函数f(x)>f(0)=0,有>0，于是>。2.估计下列各积分的值（1）解：只须求出f(x)在区间上的最大、最小值M与m，便可用估值定理估计。显见x2+1在[1,4]上单调增
4、加，有m=2,M=17,即2≤x2+1≤17，x∈[1,4],而b-a=3,所以2*3=6≤≤17*3=51，即6≤≤51.（2）解：记f(x)=1+sin2x,令f’(x)=2sinxcosx=sin2x=0.得f(x)在区间上的驻点x1=,x2=,计算f()=1+1=2,f()=1+0=1,f()=1+1/2=3/2,f()=1+=3/2,所以m=minf(x)=1,M=maxf(x)=2,其中x∈,这里b-a=,所以≤≤2.（3）解：记f(x)=,x∈[0,2],因为f’(x)=(2x-1),令f’(x)=0,得到唯一驻点x=1/2,又f
5、(1/2)=,f(0)=1,f(2)=,所以m=minf(x)=,M=maxf(x)=,有因为b-a=-2，所以-2e≤≤-2.3.设函数f(x)与g(x)在任何有限区间上可积（1）如果，那么f(x)与g(x)在[a,b]上是否相等？（2）如果在任意区间[a,b]上都有，那么f(x)是否等于g(x)?(3)如果（2）中的f(x)与g(x)都是连续函数，那么又有怎么样的结论？解：（1）不一定。f(x)，g(x)恰巧在某一区间[a,b]积分值相等，但是不能说明f(x),g(x)是相等的，例如f(x)=,g(x)=,但是实际上sinx≠tanx.(2
6、)不恒等，前提必须f(x),g(x)都是连续函数。例如f(x)=sinx(0≤x≤),.而。（3）反证法：假设f(x)不恒等于g(x),设f(x)>0,,所以，由例2.1结果f(x)≡g(x)矛盾，所以f(x)≡g(x).4.证明柯西不等式：若函数f(x)与g(x)在区间上可积，则。证：令L(x)=f(x)+g(x),则L2(x)=f2(x)+2f(x)g(x)+g2(x)≥0,从而有，即≥0.将上式右边视为关于的二次多项式。因为Ax2+Bx+C≥0,可知B2-4AC≤0,从而有，从而有。5.设f(x)在区间[a,b]连续，证明证：利用上题的结
7、论，令f(x)=,g(x)=,它们都是连续函数，有。（B）6.证明闵可夫斯基不等式：若函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上可积，则。7.设f(x)在区间[a,b]连续，且，证明：f(x)在（a,b）内至少存在不同的两个零点。证明：根据积分中值定理，在[a,b]上，存在，满足=0,得到=0，是f(x)的一个零点。假设是唯一的一个零点。那么在（a,）和（，b）内f(x)异号。假设（a,）上f(x)>0,（，b）上f(x)<0.由和=0可知0=≠0得出矛盾，所以至少在（a,b）上还有一个零点。习题4-3（A）1.单项选择题（1）设，则当x→0时f
8、(x)是g(x)的（B）（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小提示：洛必达法则（1）设f(x)是连续一阶导数，f(0
