高等数学 上册 习题答案 胡志兴 苏永美 孟艳

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1、习题1-1(A)1．填空题．(1)函数的定义域为;(2)函数的定义域为;(3)函数的定义域为;(4)函数的定义域为x<-3;(5)函数的周期为.2．设，求及．解：则3．设求解：4．将函数用分段形式表示，并做出函数图形．解：5．判断下列函数的奇偶性．(1);解：，则为偶函数．(2);解：，则为奇函数．(3);解：，则为偶函数．6．设,且当x=1时,,求．解：当x=1时，则：．7．求下列函数的反函数．(1);解：则反函数为：(2);解：则反函数为：(3);解：时，，则反函数为：()时，，则反函数为：时，，则反函数为：则其反函数为：8．证明：函数在内有界的充分必要条件是

2、在内既有上界，又有下界．证明：首先来看必要性设在内有界，且nmm，则有上界m；n，则有下界n；再来看充分性设上界和下界分别是m和n，取nm，则，有界。9．某厂生产某产品1200t，每吨定价100元，销售量在900t以内时，按原价出售；超过900t时，超过的部分打8折出售，试将销售总收入与总销售量的函数关系用数学表达式表示．解：依题意，设总销售量为x吨，销售总收入为y元10．在半径为r的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高h的函数，并确定此函数的定义域．解：设圆柱底面半径为R由几何关系得：即圆柱体积为：()(B)12．填空题．(1)对一切实数x，有，则是周期为1

3、的周期函数；(2)函数的定义域为；(3)已知，，则的定义域为．13．计算题．(1)已知，，且，求，并写出它的定义域；解：，则定义域为：，即．(2)设，令，求；解：则：．(3)设，，并讨论的奇偶性和有界性；解：以此类推：，为奇函数当x=0时，当时，，则有界．(4)设试将表示成分段函数；解：．(5)求的反函数．解：则反函数：14．证明题．(1)若周期函数的周期为T且，则得的周期为；证明：由已知：则：得证．(2)若函数满足则为奇函数.证明：(1)则，(2)(1)+(2)得：由，则即为奇函数．习题1-2(A)1．观察下列一般项为的数列的变化趋势，判断它们是否有极限？若存在

4、极限，则写出它们的极限．(1)；有极限，极限为1；(2)；有极限，极限为1；(3)；有极限，极限为0；(4)；有极限，极限为1；(5)；无极限；(6)；无极限．2．利用数列极限的定义证明．(1)；证明：．(2)；证明：．(3)；证明：．(4)；证明：．3．证明：若，则，并举例说明：数列有极限，但数列未必有极限．证明：由及数列极限定义，对，存在正整数N，当n>N时，有，则：．故．举例：数列的极限为1，而数列无极限．5．设，，证明：．证明：由极限定义可知，，取则当n>N时，，则7．求极限解：由于由夹逼准则可得．8．设，证明：数列的极限存在，并求其极限．证明：显然10．

5、求下列极限．(1)；解：．(2)；解：．(3)；解：．(4)；解：．(5)；解：．(6)；解：．12．设数列收敛，证明：中必有最大项或最小项．证明：由数列收敛，则此数列有界，即则中必有最大项或最小项．13．设，且a>b，证明：存在某正整数N，使得当n>N时，有．证明：由，存在某正整数N，使得当n>N时，对，有取为无穷小，则．16．设证明：数列收敛，并求其极限．证明：显然17．设，证明：数列发散．证明：数列有两个子数列：=0，，而，数列发散数列发散．习题1.3（P47）1.答案：D解：例：在处没有定义但是有极限。2.设（1）作出函数的图形（2）根据函数图形写出;（3

6、）极限存在么？解：（1）略（2）（3）因为，所以极限不存在3.解：当时，函数的极限不存在。（不论它多么大），，使得当时，有，故它的极限不存在。4.解：5.解：（1）当时，无穷小（2），当时，无穷大（3），当时，无穷大（4），当时，极限为0，无穷小（5），当时，极限为0，无穷小1.设解：因为存在，则，则，2.解：（1）（2）3.证：因为，则，，使得当时，有，则则4.解：（1），，使得当时，有,故（2），，使得当时，有,故（3），，使得当时，有故（4），，使得当时，有，故（5），，使得当时，有，故（6），，使得当时，有，故1.解：，，使得当时，有，故2.解：（1）A．

7、，故（2）C．，故（3）A．考虑a=0的情况，BCD错误。习题1.4（P54）1.解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）因为有界，则，故（12）因为，，则1.解（1）令，，，则（2）令，，，则（3）令，，，则（4）令，，则1.解：2.解：则，，故，3.解：时，有极限，没有极限。当，没有极限，不一定有极限（，，）。4.解：时，，都没有极限。不一定有极限（例如：），不一定有极限（当时，时没有极限；当时，，，，）。5.解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）因为，1.解；则且=，则，习题1-5(A)1.(1)D(2)B2.(1)e-1

8、/2(2)