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1、函数•例题解析【例11判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？(l)x2(2)由3x—2>0,得x>-,・••定义域是{xlx>-}+y=l⑵x+y2=l解⑴由x2+y=l得y=l-x2,它能确定y是x的函数.(2)山x+y'=l得y=±J1-x.它不能确定y是x的函数，因为対于任意的xW{xlxWl},其函数值不是唯一的.Ji—x(3)y=的定义域是0,所以它不能确定y是x的函数."x—1【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？(1)f(x)=lxl,0(t)=Vt7(2)f(x)=V^,g(x)=(仮)？(3)f(x)=VxTT•g(x)=Vx2-i(4)f(x)=Jl
2、+x•Jl-x,g(x)=Jl一x?解(1)屮两式的定义域部是R,对应法则相同，故两式为相同函数.(2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数.⑷屮两式的定义域都是一lWxWl,对应法则也相同，故两式子是相同函数.【例3】求卜列函数的定义域：(1)f(x)=V^r+j4—x+2x+5(2)f(x)=7§rrV10x-x2-21(3)f(X)=lx.-5⑷f(x)=JiU+Sx—5)[x一120解(1)由仁7得1WxW4・・・・定义域是{xllWxW4}4—x20IlOx—x2—21$0(2)由｛得3WxW7且xH5,[ixl—5H()・••定义域是｛xl3WxW7,且xH
3、5｝茁55(3)由4、5、)U(
6、,8)【例4】已知函数f(x)的定义域是[0,I],求下列函数的定义域:(1)尸f(丄)X.2(2)y=f(2x)+f(x+§)X⑶y=f(—)a解(1)由0<=W1,得xW—1或x21,x~・・・f(+)的定义域是｛xlxW—l或xNl｝「0W2xWl⑵由OWx+^Wl3得OWxW—21Af(2x)+f(x+-)的定义域是｛xIOWxW#⑶owY1aV当a>0时，得OWxWmf(—)定义域为[0,a]aV当aVO时，得穴xWO,f(—)的定义域为口，0]a【例
7、5】若函数y=(xJx+t的定义域是一切实数.求实数a的取值范围.解xR,ax2—axH—$0aa>0△=/—go0VaW2.为所求a的取值范围.【例6】求下列函数的值域:(l)y=-5x2+l(2)y=3+Jx+4(1)y=x?—5x+6,x^[—1,1)(2)y=x?—5x+6,xW[—1,3](5)y=2x5x+1(6)y=3x2-1x2+2(7)y=4x2-12x+5x2-3x+2(X)y=2x—3+j4x—13(9)y=lx—21—lx+II解(l)・.・xWR,・・・一5x2+1W1,值域yWl.(2)・・・xM—4,・・・3+Jx+4$3,・•・值域y$3⑶Vy=x2-5
8、x+6=(x-j)2-
9、•・・#§[—1,1),y在区间[-1,1)上为减函数，如图2・2-1.・・.值域yG(2,12).5.1(1)y=(x--)---,v
10、e[-l,31，如图2.2-2,当*=扌时，y斷=一当x=—i时，y唤=12・・•・值域yu[—12](y—4)x^—3(y—4)x+(2y—5)=0①当y—4H0时，•・•方程①有实根，•••△20,即9(y-4)2-4(y-4)(2y-5)>0化简得y?—20y+64$0,得y<4或yN16当y=4时，①式不成立.故值域为y<4或y$16.134x2-12x+5x2-3x+2去分母整理得:(8)解法(一)由4x-13>0,
11、得x>—,设t=j4x-13,贝ijt^O.r+i3t+13那么y=2X—3+t=
12、(t+l)2+3(t^O)函数y在tMO时为增函数(见图2.2-3).图2•2-37故所求函数值域为y^-.解法(二)・・・y=2x—3+j4x-13.・•・2y=4x—6+2j4x—13=(j4x-13+1)2+6I77・；y=3(j4x-13+I)2+3^—,B
13、Jy^—(9)解：去抻绝对值符号，-3(x>2)f(x)=«—2x+1(―1WxW2)3(x<-l)其图像如图2.2—4所示.图2・2-4由图2.2—4可得值域ye[-3,3].说明求函数值域的方法：1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根
14、、绝对值等.（如例1，2）2°求二次函数在指定区I'可的值域（最值）问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理.假如求函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）,在给定区I'可[m,nJ的值域（或最值），分三种情况考虑：b（i）当对Mx=-—>nW,如图2.2-5（甲），f（X）nin=f（n）・bb（ii）当对»x=-—e[m,n]时，如图2.2-5（乙），f（x）简=f（—〒），ZuZuf（x：U是f（m），f（n）两值较大者
