数值运算的误差分析.doc

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1、实验一数值运算的误差分析1.问题的提出任何数值计算都是一种近似计算，于是研究此误差的来源及防止在整个数值计算中占非常重要的地位。首先是误差的分类、其次是估计误差的工具最后是一些避免误差产生及传播的手段。1)模型误差：实际问题用数学模型刻画时要忽略一些因素，从而造成数学的量和实际的量的误差称为模型误差2)观测误差：数学模型用到一批数它可能是观测得到的也可能是计算到的，这种数据误差造成数学量的近似。3)截断误差：通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。例如，函数用泰勒（Taylor）多项式近似代替，则数值方法的截断

2、误差是：4)舍入误差：最后用近似的方法计算数据有误差的数学问题要用有限位数字，这就要求进行基本的四舍五入计算，由此引起的误差称为舍入误差。例如用3.14159近似代替，产生的误差为舍入误差。2.误差与有效数字1)绝对误差：2)相对误差：3)有效数字：若近似值的误差限是某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有位，就说有位有效数字，表示，其中是0到9中的一个数字，，为整数，且例如：187.93250.037855518.0000332.7182818187.930.0378568.00002.7183若具有位有效数字，则其相对误差限为：例一

3、：要是的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？设取位有效数字，由定理1，。由于，知=4，故只要取，就有%，即只要对的近似值取4位有效数字，其相对误差限就小于0.1%，此时由开方表可取。4)误差的积累运算：+；；；5)函数的误差：设是一元函数，的近似值为以近似,其误差记作;那么函数的误差是：当多元函数时，例如计算A。如果的近似值为则A的近似值为，于是由泰勒展开得函数值的误差为;于是函数的误差限：；（2）而相对误差限为：（3）例二：已测得某场地长的值为，宽d的值为,已知,,试求面积的绝对误差限与相对误差限。解：因，，，由（3）知，其

4、中，，而，于是绝对误差限为，相对误差限为6)避免误差危害的若干原则l避免接近零数作除数。例如：顺便指出，有时为避免中间结果益出也要变换公式，例如:,l避免相近数相减。例如：再如求的根，取五位数字的有效数字就少了。可用试比准确解：;l防止大数‘吃’小数。例如：，如果按先后次序得0.1，再加还是0.1，如果从后往前加，最后;l减少计算步聚。例如：计算多项式的值宜用　这就是最著名ＦＦＴ算法数值例。l注意递推公式。有些公式计算时误差不断积累越来越大，有些公式误差则不会增加前者称数值不稳定的应避免使用，后者称数值稳定的，我们应该采用着类公式，请看例子

5、。计算出可算出误差大的惊人，竟出现了负数。但若用算出有四位有效数字。不难看出前一算法所得的误差是的倍，而后一算法所得的误差是的.参考思考题：1、2、3、实验一的目的是什么？以后的内容起什么作用？在实验一里主要提醒什么？或不叫“实验一”，叫“预备知识”。