2018届中考数学（广西）练习：题型三 圆的相关证明及计算.doc

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1、题型三　圆的相关证明及计算类型一　与切线判定有关的证明及计算1.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别于与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，BC＝2，求DF的长．(1)证明：连接OD，如解图，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；(2)解：连接AD，如解图，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝DC＝，∴AD＝＝＝，∵DF⊥AC，∴△ADC∽△DF

2、C，∴＝，∴＝，∴DF＝.2．(2017·天水)如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.(1)求证：BC是⊙O的切线；(导学号　40894130)(2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．(1)证明：连接OB，如解图所示，∵E是弦BD的中点，∴BE＝DE，OE⊥BD，＝＝，∴∠BOE＝∠BAD，∠OBE＋∠BOE＝90°，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠BOE＝∠DBC，∴∠OBE＋∠DBC＝90°，∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；(

3、2)解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC＝＝10，∵S△OBC＝OC·BE＝OB·BC，∴BE＝＝＝4.8，∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD的长为9.6.3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若OF＝2，求AC的长度．(导学号　40894131)图①(1)证明：如解图①，连接OD、AD，∵点D是的中点，∴＝，∴∠DAO＝∠DAC，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°，∴∠AED＝∠

4、ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；图②(2)解：如解图②，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB，∵∠DFO＝∠ACB＝90°，∴△DFO∽△BCA，∴＝＝，即＝，∴AC＝4.4．(2017·永州)如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．解：(1)证明略．(2)∵∠P＝60°，PC＝2，∠PCO＝90°，∴OC＝2，OP＝2PC＝4，∴PE＝OP－OE

5、＝OP－OC＝4－2.类型二　与切线性质有关的证明及计算1．(2017·大连)如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E.(导学号　40894132)(1)求证：BD＝BE；(2)若DE＝2，BD＝，求CE的长．(1)证明：设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－2α，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠DBE＝2α，∠BED＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α，∴∠D＝180°－∠DBE－∠BED＝90

6、°－α，∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE；(2)解：设AD交⊙O于点F，CE＝x，则AC＝2x，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵BD＝BE，DE＝2，∴FE＝FD＝1，∵BD＝，∴BF＝2，∵∠BAD＋∠D＝90°，∠D＋∠FBD＝90°，∴∠FBD＝∠BAD＝α，∴tanα＝＝，∴AB＝＝＝2，在Rt△ABC中，由勾股定理可知(2x)2＋(x＋)2＝(2)2，∴解得x＝－(舍去)或x＝，∴CE＝.2．(2017·南京)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1

7、)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.证明：(1)如解图，连接OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA＝OB，∴PO平分∠APC；(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－30°＝60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC＝∠APC＝×60°＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP＝∠C

8、，∴DB∥AC.3．(2017·西宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E