微积分复习资料.docx

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1、基本知识复习一、不定积分1．不定积分概念，第一换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数与在区间内有定义，对任意的，有或，就称是在内的一个原函数。如果是函数的一个原函数,称的原函数全体为的不定积分,记作（2）不定积分得基本性质1．2。3。（3）基本不定积分公式表一27（1）第一换元积分法（凑微分法）设具有原函数,可导,则有换元公式1．第二换元积分法，分部积分法（1）第二换元积分法设是单调的、可导的函数,并且.又设具有原函数,则有换元公式其中是的反函数.27（1）分部积分法设函数及具有连续导数,那么,移项,得对这个等式两边求不定积分,得这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式

2、:（2）基本积分公式表二（3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分两个多项式的商称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式与分母多项式之间是没有公因式的.当分子多项式的次数小于分母多项式的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.27对于真分式,首先将在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是,另外一种是,其中是正整数且;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做

3、法是:若分解后含有因式,则和式中对应地含有以下个分式之和:其中:为待定常数.若分解后含有因式,则和式中对应地含有以下个分式之和:其中:为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.一、可化为有理函数的积分举例例4求解由三角函数知道,与都可以用的有理式表示,即如果作变换,那么而从而27于是例5求解设,于是从而所求积分为例6求解设,于是从而所求积分为例7求27解设,于是从而所求积分为例8求解设,于是从而所求积分为一、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。定积分

4、的定义定义(定积分)设函数在区间上有定义.用分点将区间任意分成个小区间,小区间的长度为记在每个小区间上任取一点,作乘积将这些乘积相加,得到和式27这个和称为函数在区间上的积分和.令,若积分和有极限(这个值不依赖于的分法以及中间点的取法),则称此极限值为在上的定积分,记作其中和分别称为定积分的下限与上限，称为积分区间.函数的可积性定理1若在上连续,则在上可积.定理2若在上只有有限个间断点,并且有界,则在上可积.定积分的几何定义在上时,我们已经知道,定积分在几何上表示由曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积;在上时,由曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方,定积分在几何上表

5、示上述曲边梯形面积的负值;在上既取得正值又取得负值时,函数的图形某些部分在轴的上方,而其它部分在轴下方.此时定积分表示轴上方图形面积减去轴下方图形面积所得之差(图4-2).定积分的基本性质27为了以后计算及应用方便起见,对定积分做以下两点补充规定:(1)当时,;(2)当时,性质1性质2(线性性质)推论1推论2性质3性质4若,则推论3若,则推论4若,则推论5性质5(定积分中值定理)（图4-6）若在上连续,则至少有一点,使得积分上限的函数及其导数定理1如果函数在区间上连续,则积分上限的函数在上可导,并且它的导数定理2如果函数在区间上连续,则函数就是在上的一个原函数.一、牛顿---莱布

6、尼茨公式27定理3如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则通常也把牛顿----莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.（1）定积分的换元积分法与分部积分法在上连续,作变换,其中满足且当时,;(2)在上具有连续导数,则定积分的分部积分法：例28证明:1.若在上是连续的偶函数,则2.若在上是连续的奇函数,则例29若在上连续,证明:(1)(2)例31设是连续的周期函数，周期为，证明:(1)(2)27例9证明:证:令则当时,这样,我们得递推公式:当为正偶数时,当为正奇数时,又故在一些实际问题中,常会遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分,它27反常积分无穷限的反常积分定义1设函数

7、在区间上连续,取,如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作即这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,则函数在无穷区间上的反常积分就没有意义,习惯上称为反常积分发散,这时记号不再表示数值了.类似地,设函数在区间上连续,取,如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作即这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分发散.设函数在区间上连续,如果反常积分和都收敛,则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分,记作即这时也称反常积分收敛;否